Table de cayley

[zork]

bonjour,

pour remplir une table de cayley est on obligé de calculer pour chaque nombre
par exemple la table de la multiplication modulo 9

de plus comment savoir si on a un groupe à partir de cette table

toujours pour modulo 9, l'ensemble {1,2,3,4,5,6,7,8} est il un groupe ?

merci

[Doraki]

un groupe c'est un ensemble avec une loi.
{1;2;3;4;5;6;7;8} c'est juste un ensemble. Sans loi de composition interne, ça n'a pas de sens de se demander si c'est un groupe.

Si tu prends la multiplication modulo 9, ça ne vérifie pas tous les axiomes d'un groupe donc ce n'est pas un groupe.

[zork]

qu'est qui te permet de dire cela?

quel axiome n'est pas vérifié? et comment ferait on si on avait la table de cayley pour voir que ce n'est pas un groupe

[Doraki]

Ben tu prends les axiomes un par un et tu les vérifies.
La table de Cayley te permet simplement de faire les opérations.

"pour tout x,y, et z, x*(y*z) = (x*y)*z". Tu prends les 512 triplets (x,y,z) possibles,
tu vas à l'intersection de la ligne y et de la colonne z pour lire y*z,
tu vas à l'intersection de la ligne x et de la colonne y*z pour lire x*(y*z),
tu vas à l'intersection de la ligne x et de la colonne y pour lire x*y,
tu vas à l'intersection de la ligne x*y et de la colonne z pour lire (x*y)*z.
Si x*(y*z) est différent de (x*y)*z, ce n'est pas un groupe et tu peux arrêter.
Sinon, tu passes au triplet (x,y,z) suivant. (bon en pratique on le fait jamais c'est bien trop long)

"il existe un élément e tel que pour tout x, e*x = x*e = x".
Tu cherches donc un élément e tel que dans toute la ligne en face de lui, l'intersection de la ligne e avec la colonne x contient x ; et tel que dans toute la colonne en face de lui, l'intersection de la ligne x avec la colonne e contient x.
Si il y en a pas, ce n'est pas un groupe et tu peux arrêter. Si tu en trouves un, tu te souviens de lui et tu l'appelles l'élément neutre.

"pour tout x il existe un élément y tel que x*y=y*x=e".
Donc bah là pour chaque x tu cherches un élément y tel que l'intersection de la ligne x et de la colonne y contient l'élément neutre. Si il y a un x où la ligne x ne contient pas l'élément neutre, ce n'est pas un groupe et tu peux arrêter. Ensuite tu vérifies que l'intersection de la ligne y avec la colonne x contient l'élément neutre, puis tu passes au x suivant.

[zork]

dans la table sur la ligne de 3, je n'ai pas 1 donc 3 n'est pas inversible
donc l'ensemble n'est pas un groupe

[Doraki]

exactement. 3 n'est pas inversible.