Systéme linéaire / matrice échelonnée réduite

[volodia10]

Bonjour. C'est la première fois que j'utilise le forum . J'ai lu la charte mais s'il y a un souci n'hésitez pas à me le dire.

Je suis en l1 d'informatique et en mathématique on voit les matrices échelonnée réduite et je suis vraiment bloqué cela fait plusieurs heurs que je suis en train d'essayer de réussir l'exercice suivant . Je n'ai jamais était très bon en math

L'exercice est sous cette forme :
2x - y + 3z + 5t =1
x -2y +z + t =2
x +y -z +2t = 1
3x -3y +10z +10t = -1


Je transforme ça donc en matrice augmenté

2 - 1 3 5 =1
1 -2 1 1 =2
1 1 -1 2 = 1
3 -3 10 10 = -1


J'essaye de transformer ma matrice augmenté en matrice échelonner
Je fait L1<---- L1 - L3

1 - 2 4 3 =0
1 -2 1 1 =2
1 1 -1 2 = 1
3 -3 10 10 = -1

Ensuite L2 <---- L2-L1 et L3<---- L3-L1

1 -2 4 3 =0
0 0 -3 -2 =2
0 3 -5 -1 =-1
3 -3 10 10 = -1

L4 <--- L4 - 3L1

1 -2 4 3 =0
0 0 -3 -2 =2
0 3 -5 -1 =-1
0 3 -2 1 =-1

Je permute L2 et L4

1 -2 4 3 =0
0 3 -2 1 =-1
0 3 -5 -1 =-1
0 0 -3 -2 =2

C'est ici que je suis bloqué . Je n'arrive pas à transformé mon pivot en 1 . Et j'ai essayé plusieurs fois au cas où avec d'autre opérations élemantaire . Mais au fini je tombe toujours sur le même cas de figure . Si quelqu'un peut m'expliquer où et mon erreur . Je serais super content .
Merci

[Ben314]

Salut,
J'ai pas vérifié les calculs dans le détail, mais sur le principe c'est bon (modulo qu'au départ, je vois pas bien l'intérêt de commencer par faire L1<-L1-L3 : c'est pas faux, mais ça sert à rien...)

Sinon, ton 3, pour le transformer en 1, c'est con comme la lune : ta deuxième ligne 0 3 -2 1 = -1 en fait ce qu'elle dit (en raccourci), c'est que 0x+3y-2z+t=-1 qui est évidement la même chose que 0x+y-(2/3)z+(1/3)t=-(1/3).
En bref, de multiplier tout les coeffs d'une ligne par une constante (non nulle), ben ça change rien au système.

[volodia10]

Je te remercie. De ta réponse rapide. J'ai pensé à diviser, mais mon professeur nous à dit qui ne fallait pas utiliser les divisions .

[Ben314]

Sans utiliser de multiplications/divisions (c'est la même chose),
a) Je sais pas faire.
b) C'est clair qu'il y a des tas de systèmes que tu arrivera pas à résoudre. Par exemple le système (système à une inconnue et une équation), tu pense faire comment si on t'interdit les multiplications/divisions ?

[volodia10]

J'ai continué mon exercice avec les divisions , mais je rencontre encore un soucis .

1 -2 4 3 =0
0 3 -2 1 =-1
0 3 -5 -1 =-1
0 0 -3 -2 =2

L3 <---- L3 -L2
L2 <---- L2/3


1 -2 4 3 =0
0 1 -2/3 1/3 =-1/3
0 0 -3 -2 = 2
0 0 -3 -2 =2

L3 <--------- L3*-1

1 -2 4 3 =0
0 1 -2/3 1/3 =-1/3
0 0 3 2 =- 2
0 0 -3 -2 =2

L4 <------ L4 + L3

1 -2 4 3 =0
0 1 -2/3 1/3 =-1/3
0 0 3 2 = 2
0 0 0 0 =0

L3 <<----- L3/3

1 -2 4 3 =0
0 1 -2/3 1/3 =-1/3
0 0 1 2/3 = 2/3
0 0 0 0 =0

Il n'y à pas de soucis ? Je peux commencer la phase de remonter ?

[Ben314]

Tout dépend de ce que tu appelle "un soucis" : ta dernière ligne, en fait, elle dit (*) 0x+0y+0z+0t=0 ce qui est évidement toujours vrai quelque soient les réels x,y,z et t.
Donc la ligne ne sert absolument à rien, mais souvent on la garde quand même pour ne pas modifier la taille de la matrice de départ (en fait, ça dépend de la question posée : Si la question est "résoudre le système", ben la ligne en question, tu peut la jeter à la poubelle. Si la question est "échelonner la matrice", là, normalement, tu est sensé préserver la taille de la matrice donc garder cette ligne inutile.)

Sinon, arrivé à ce point, au niveau vocabulaire, tu as mis la matrice "sous forme échelonnée" et il te reste effectivement la remontée à faire pour la mettre "sous forme échelonnée réduite".

[volodia10]

D'accord, mais je ne vois pas du tout comment faire pour remplacer les fractions par des 0 tout en concervent les 1

[volodia10]

Bon je pense que je vais décrocher ça fait depuis 16h que je tente et ça commence à devenir n'importe quoi merci de ton aide comme même. Je vais demander au professeur demain.