Loi Normale Reduite

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Fairbanks142
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Loi Normale Reduite

par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 18:10

Bonjour à tous

Je me trouve devant un exercice de loi normale reduite et je suis perdu. Quelqu'un peut-il m'aider ?

Dans une usine il y a 2000 lampes avec ampoules du même type éclairant les rues. Les durées de vie de ces ampoules sont distribuées suivant une loi normale avec une moyenne de 1000Heures et un écart type de 200 heures.

1- A quel nB d'ampoule hors d'usage, après 700 heurs de fonctionnement, peut-on s'attendre ?
2- " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ", entre 900 et 1300heures de fonctionnement ?
3- Après combien d'heures d'usage estimons nous que 10% des lampes seront hors d'usage ?


Voilà je ne cherche aucune réponses faciles mais juste la méthode.
Cordialement.



C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 19:39

Bonsoir,


Comme on donne la loi statistique selon laquelle les ampoules tombent en panne, il est possible de calculer ou de tracer la fonction de répartition.

Image
Fonction de répartition F(X) pour X variable aléatoire suivant une loi normale N(0,1).


A partir de cette courbe, on peut observer la façon dont les ampolues tombent en panne en fonction du nombre d'heure de fonctionnement.

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 20:06

C.Ret a écrit:Bonsoir,


Comme on donne la loi statistique selon laquelle les ampoules tombent en panne, il est possible de calculer ou de tracer la fonction de répartition.

Image
Fonction de répartition F(X) pour X variable aléatoire suivant une loi normale N(0,1).


A partir de cette courbe, on peut observer la façon dont les ampolues tombent en panne en fonction du nombre d'heure de fonctionnement.


Donc avec ton Graphique je peux répondre au deux premières questions ? N'y a t-il pas une solution par calculs ?

C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 20:26

Non, je crois que l'on peut répondre aux trois question !?!

Il faut juste le mettre à l'échelle et attribuer aux axes les bonnes données.

Il y a plusieurs façon de faire pour trouver la solution. En général on utilise des tables précalculées, on peut aussi utiliser directement un graphique ou calculer les solutions ce qui revient à faire des intégrations (que l'on peut résoudre numériquement, graphiquement ou mathématiquement).

Quelque soit la méthode, cela revient à exprimer la fonction de répartition d'une distribution normale.

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 20:33

D'accord, je vois que pour F(x) je vais être de 0 à 2000 mais pour abcisses X je ne vois pas comment faire :hein:

C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 20:44

Oui, effectivement les ordonnées c'est le nombre d'ampoules qui tombent en panne en fonction de x.

Donc, à quoi doivent correspondre les abscisses x ?

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 20:51

Au temps, je remplace le centre par 1000 vu que c'est la moyenne, mais je ne sais pas comment y intégrer l'écart type =/

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 20:53

Fairbanks142 a écrit:Au temps, je remplace le centre par 1000 vu que c'est la moyenne, mais je ne sais pas comment y intégrer l'écart type =/


Euh si je met =

400 600 800 1000 1200 1400 1600

C'est correct ?

C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 21:07

Oui, c'est ça.

La loi N(0,1) est centrée sur 0 (la notre sur 1000 h) et l'écart type est 1 (notre écart type est 200 h)

Donc sur le graph de N(0,1), -1 signifie une fois l'écart-type en-dessous de la moyenne. Pour notre cas se sera 1000-200 = 800 h, +1 signifie une fois l'écart-type après la moyenne (1200 h), etc...

En général pour une loi normale après 3x l'écartype tout à réagit.


On obtient donc le graphique suivant :

Image

On peut aussi utiliser un abbac (il y en a dans tous les bons manuels de statistique)

Ou se souvenir que la fonction de répartition est :

Image pour Image

Ce qui s'exprime aussi par

Dans notre cas, x et t sont le nombre d'heure de fonctionnement, F(x) le nombre d'ampoules de l'usine aprsè x heure de fonctionnement, \mu le durée moyenne observée et \sigma l'écart-type observé des temps de fonctionnement.

Les valeurs des questions peuvent se lire sur le graph ou être calculée par l'une ou l'autre des formules.



Je cherche si je trouve un abbac disponble sur Internet, de mon temps je répond à 'aide de ces abbac (tableaux précalculés) qui étaient bien pratique.

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 21:26

Merci beaucoup de m'avoir consacré un peu de ton temps ! J'ai compris ! Et je comprendrais ! Merci beaucoup encore une fois !

C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 23:17

Je n'ai pas trouvé l'abbac.

P.S.:
a) 133 ampoules
b) 1866-617 = 1249 ampoules
c) 743h35min

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 23:19

Je viens d'essayer par tout les moyens mais impossible de vérifier par calculs

Par graphique je trouves pour la question 1 = 150 ampoules

J'aimerais pouvoir le vérifier avec le deuxième calcul que tu ma donné mais je n'y arrive pas


Peut tu m'aider s'il te plait ? C'est quoi erf ?

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 27 Nov 2012, 23:26

C.Ret a écrit:Je n'ai pas trouvé l'abbac.

P.S.:
a) 133 ampoules
b) 1866-617 = 1249 ampoules
c) 743h35min



Graphiquement j'ai quasiment pareil mais impossible de m'y retrouver avec ta formule =/

C.Ret
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par C.Ret » 27 Nov 2012, 23:45

Pas de problème.

La fonction erf est une fonction spéciale , c'est la fonction d'erreur de Gauss ;

Image


Mais, le plus simple pour répondre à ton excercice est d'utiliser une Table Précalculée.

Image

Voir aussi première page du document suivant :
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CEgQFjAE&url=http%3A%2F%2Fmonnano.weebly.com%2Fuploads%2F1%2F6%2F6%2F3%2F1663287%2Ftables_stat.pdf&ei=2SO1UN7EHKiS0QWJ3oCICw&usg=AFQjCNGEXenysOv3fT1DFAmOT0u6Cq7haQ


Mais je suis surpris en principe tous élève qui fait des statistique doit avoir ce type de table; les manuels n'en ont plus ? Les professeurs n'en distribuent plus ?



Les tables ne donnent que les valeur pour la loi normale centrée-réduite. Il faut donc calculer la position que nous recherchons.

Par exemple au bout de 700 h

x =( 700 - 1000 ) / 200 = -1.5

Dans la table on ne trouve que les valeur positive (car la partie de la courbe est symétrique), on cherche donc F(1.5). On trouve 0.9332 dans la table.

Donc pour F(-1.5)=1-F(1.5)=1-0.9332 = 0.0668

LE nombre d'ampoules qui aura déjà claquée au bout de 700h devrait donc être 2000*0.0668 = 133.61 soit 133 ampoules (ou 134 - en fait il faudrait calculer un intervalle de confiance).


Si tu n'as pas de table précalculée, tu peux aussi utiliser ta calculette, certaines calculettes de bonne facture savent calculer les fonction de répartition pour les loi normale, de student, de poisson, etc...
En tout cas c'est ce que fait la mienne (bien qu'elle date de 1986). Mais il faut à chaque fois que je relise le chapitre concernant ces fonctions dans le manuel d'utilisation.



Sinon, il y a ton ordinateur qui peut être équipé des logiciel ad'hoc (Excel,Géogébra, Mathématica, ...)

Moi, j'ai toujours dans un tirroir les tables donnée par mon professeur de statistique.
J'ai du mal à comprendre que l'on donne un tel excercice sans le cours ou les documents nécessaires !?!

Fairbanks142
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par Fairbanks142 » 28 Nov 2012, 00:13

Je viens tout juste d'aborder ce thème, je en maitrise pas tout mais j'ai envie d'aller plus loin. En tout cas je te remercie pour tout. Je vais plancher sur ces résolutions numériques.
Merci Beaucoup !

 

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