Symétrie centrale

[Davidmaths]

Bonjour !

J'aimerais démontrer quelque chose. Je pose un plan affine euclidien et les symétries centrales (dont le centre appartient à un cercle (de centre O et rayon positif)).
Comment je pourrais montrer que si je prends n'importe quelle translation de P c'est la composée d'un nombre d'élément de S ?

J'ai fait un dessin et je "vois bien" toute translation de P est la composée d'un nomre d'éléments de S mais j'aimerai me le prouver rigoureusement et mathématiquement.

Si une personne a une idée je suis preneur.

Bien cordialement,
David

[GaBuZoMeu]

Ce que je ferais :
Je noterais le rayon du cercle et je me donnerais un vecteur .
J'expliciterais alors comment fabriquer une suite de symétries centrales à centres sur dont le composé est la translation de vecteur .

Je commence : soit le plus petit entier tel que ...

[Davidmaths]

D'accord, je vais essayer comme ça. En effet, j'avais pris deux points A et B du plan puis le vecteur.
Mais prenons un vecteur .

Je commence : soit le plus petit entier tel que ...

Je m'excuse mais je ne vois pas bien "l'idée" de faire
Est-ce le périmètre du cercle que vous voulez exprimer ?

[GaBuZoMeu]

J'ai une idée de comment faire, et je pensais que tu avais la même ...

Si on prend deux extrémités d'une corde, on fabrique une translation de longueur deux fois la longueur de la corde et de direction la direction de la corde.
On a presque gagné, sauf qu'on ne peut pas translater plus loin que deux fois le diamètre.
Ce qui me fait voir, en racontant en détail, que j'aurais dû par mesure d'économie prendre le plus petit entier tel que .

Bon, mais j'en ai déjà trop dit.

[lyceen95]

Je pense qu'il faut faire l'exercice 'dans l'ordre' , et non pas en partant par la fin.

Soit et 2 points distincts du plan.
Soit la Symétrie de centre , et la symétrie de centre .
Que peut-on dire de ?
Ensuite, quand on a répondu à cette question, la question initiale semble évidente.

[GaBuZoMeu]

Je pense que Davidmaths avait déjà passé cette étape. J'ai répondu en supposant cela.
Me trompé-je ?

[Davidmaths]

J'ai une idée de comment faire, et je pensais que tu avais la même ...

Si on prend deux extrémités d'une corde, on fabrique une translation de longueur deux fois la longueur de la corde et de direction la direction de la corde.
On a presque gagné, sauf qu'on ne peut pas translater plus loin que deux fois le diamètre.
Ce qui me fait voir, en racontant en détail, que j'aurais dû par mesure d'économie prendre le plus petit entier tel que .

Bon, mais j'en ai déjà trop dit.

J'arrive à percevoir légèrement ce que vous dites.

Je pense qu'il faut faire l'exercice 'dans l'ordre' , et non pas en partant par la fin.

Soit et 2 points distincts du plan.
Soit la Symétrie de centre , et la symétrie de centre .
Que peut-on dire de ?
Ensuite, quand on a répondu à cette question, la question initiale semble évidente.

Justement c'est ce que je cherche finalement . Je sais que ça sera une translation

[lyceen95]

Tu sais que ce sera une translation, oui, mais quelle translation ? C'est ça qui est essentiel. Et toute la suite va se dérouler automatiquement.

[GaBuZoMeu]

Davidmaths, tu étais peut-être moins avancé dans ton exercice que je ne le pensais.

En fait, je t'ai déjà pratiquement soufflé la réponse à la question de lycéen 95.

[Davidmaths]

Si on note T(AB) la tranlation de A à B alors je pense que

Davidmaths, tu étais peut-être moins avancé dans ton exercice que je ne le pensais.

En fait, je t'ai déjà pratiquement soufflé la réponse à la question de lycéen 95.

Oui effectivement, je viens de débuter le chapitre des isométries et par curiosité je voulais démontrer ceci.

[GaBuZoMeu]

Perdu !
Pour la détermination du vecteur de translation, il peut être utile de regarder où va le point B dans la composée des symétries. Ça ne suffira pas pour montrer que c'est bien une translation, mais un petit calcul vectoriel réglera tout.

[Davidmaths]

Vous voulez dire par là que pour déterminer T(AB) il faut que je trouve le point B dans la composée des symétries.

Je vais mettre une photo de mon schéma. Peut-être que depuis le début je repose mes idées sur des choses fausses. https://ibb.co/0tgHdPJ

Je me rends compte que finalement cette démonstration est peut-être trop compliqué encore pour moi...

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas ton dessin : est la symétrie de centre , la symétrie de centre , et sont tous les deux sur le cercle. Ce n'est pas ce que représente ton dessin.
Peux-tu essayer de faire un dessin représentant cette situation, avec et ?

[Davidmaths]

J'ai essayé https://ibb.co/mHHVJ4Y

[lyceen95]

Tu vas trop vite ... et pas dans la bonne direction.

Oublie le cercle. Ce cercle, on en parlera au moment venu.

Tu as 2 points A et B, n'importe où sur ton plan. Tu peux donc définir 2 symétries et , et on s'intéresse à . c'est une translation. Ok. Je suppose que c'est un résultat appris en cours.
Calcule l'image de par cette translation. Ou bien l'image de . Comme tu veux.

Et du coup, est la translation de vecteur ???

Edit : Ceci dit, sur ton dernier dessin ( qui est correct), on voit bien que pour aller de M à P, ce n'est pas une translation de vecteur BA qui convient, mais ....

[Davidmaths]

Sur mon dessin je vois bien que pour aller de M à P, je peux faire +

Edit : J'ai fait un schéma avec seulement les points A et B comme vous m'aviez demandé.
Et je vois bien que l'image de A par la composition de et c'est
https://ibb.co/rGtcsVh

[lyceen95]

On n'avance pas beaucoup.
A priori, on devrait pouvoir exprimer cela à partir de A et de B seulement. Si on part d'un point M quelque part sur la feuille, ou d'un autre point M autre part, le vecteur MP est toujours le même, n'est-ce pas, puisque la composée de nos 2 symétries, c'est une translation.
Que se passe-t-il si on prend un point M autre part. M tout proche de B par exemple. Ou bien M=B même, pour que ce soit plus simple. Ou encore M tout proche de A.

[GaBuZoMeu]

Je répète :

Pour la détermination du vecteur de translation, il peut être utile de regarder où va le point B dans la composée des symétries. Ça ne suffira pas pour montrer que c'est bien une translation, mais un petit calcul vectoriel réglera tout.

Quelle est l'image du point B ?
Tu as oublié le calcul vectoriel du lycée ?

[Davidmaths]

Je viens de remarquer que par exemple. (dans le dernier schéma)

A priori, on devrait pouvoir exprimer cela à partir de A et de B seulement. Si on part d'un point M quelque part sur la feuille, ou d'un autre point M autre part, le vecteur MP est toujours le même, n'est-ce pas, puisque la composée de nos 2 symétries, c'est une translation.
Que se passe-t-il si on prend un point M autre part. M tout proche de B par exemple. Ou bien M=B même, pour que ce soit plus simple. Ou encore M tout proche de A.

Je n'arrive pas à saisir que le vecteur MP est toujours le même si je change M de place.

Quelle est l'image du point B ?
Tu as oublié le calcul vectoriel du lycée ?

Je ne vois pas comment utiliser ici le produit vectoriel.

Update : en regardant plus loins dans mon cours je vois la propriété suivante : la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O' est la translation de vecteur

J'ai une démonstratio qui suit qu'essayerait de comprendre demain.
Mais dans mon cas, le centre de la symétrie centrale apparient à un cercle. Il doit y avoir peu de choses qui changent

[lyceen95]

Tu veux aller beaucoup trop vite. Tu confonds vitesse et précipitation.

Tu lis "calcul vectoriel" ... et tu réponds "en quoi le produit vectoriel peut-il servir ici ?"
Le calcul vectoriel, c'est le calcul sur les vecteurs. C'est la relation de Chasles par exemple... et ça peut aussi être des choses plus compliquées.
Personne ne t'a parlé de produit vectoriel.

, c'est effectivement la translation de vecteur 2BA. Regarde le 2ème dessin que tu as posté, et tu vas constater que MP=2BA ... C'est un dessin, ce n'est pas une preuve, mais c'est déjà un début.

La preuve, elle commence comme ça :
MP, c'est MN+NP
MN, c'est MB+BN , c'est donc 2BN parce que B est le milieu de MN.
NP, c'est NA+AP ... etc etc