[Centrale 1989]Suites récurrente double non lineaire

[BertrandR]

Bonjour, j'aurai voulu savoir si certain d'entre vous aurait une idée à me donner sur l'étude de la suite suivante :U(x,y) avec x,y positifs




Plus préscisément, peut on obtenir des info sur les suites de cet ensemble qui tendent vers 1 ? (Info : Limites possible : 0, 1 ou l'infini ).
Il y a des méthode pour les suites linéaire avec des sorte d'équations différentielles, mais pour celles ci non linéaire? Merci pour vous réponse

[busard_des_roseaux]

bjr,

on peut supposer x>0 et y>0 quitte à étudier la suite à partir de

soit

est convexe sur



si et , on en déduit facilement:



-----------------------------------------------------------------



si ,

conclusion de cette étude préliminaire:
On peut restreindre l'étude de la suite au compact


Le point (1;1) est répulsif dans les deux domaines:
x > 1 et y>1
et
x<1 et y<1
Il reste à étudier ce qui se passe dans le complémentaire (compact)
de son voisinage

[busard_des_roseaux]

je remonte le fil, le pb n'étant pas résolu..on demande méthode :doh:



avec f
comment regarder un point fixe dans R2 ? qu'est-ce que l'on prend comme norme de la différentielle pour avoir une majoration style accroissements finis ? j'avoue que je connais pas bien les points fixes dans .


qui terminera l'étude ?

[BertrandR]

Ahhh mais c'est génial ca, je n'avais pas du tout pensé à un passage en complexes.

Je préscise des données :

J'ai reussi a établir les choses suivantes (sur vos conseils):

Limites possibles : 0, 1 et l'infini

Ou constante égale à 0 ou 1. donc et non vides.
Ou strictement décroissante et converge vers 0
Ou Strictement croissante et diverge vers +infini
Ou converge vers 1 en oscillant autour de 1 (suites des termes pair et des termes impair adjacentes.

Maintenant la question est la stabilité, c-a-d les condition sur (x,y) pour que Un converge vers 1, et les condition tjs sur (x,y) pour que la convergence change. A mon avis cela doit etre une sorte d'équilibre instable, et c'est ce que j'aimerai étudier (avec votre aide! ).

Pour ceux qui sont interessé par mon pb, voici l'énoncé :
http://concours-maths-cpge.fr/corriges-1989/index.html
Moi j'ai deja terminé la premiere partie, j'en suis a la deuxieme, et c'est elle qui m'interesse, j'essai de comprendre la "stabilité" de la convergence de la suite. Merci à vous !! (Et surtout à Busard qui m'as bien aidé)

P.S : J'avais pensé à un point fixe également, mais dans IR² je ne connais aucune méthode... Peut etre à coup de dérivée partielle et de fct de plusieurs (ici 2) variables?

[BertrandR]

Excuse moi busard_des_roseaux, je relisais ta réponse et je me demandais, quel est l'interet des complexes? C'est seulement pour le calcul, ou tu voulais définir une nouvelle suite avec plus qu'un seul terme z0 au lieu des deux x et y ? Et pourquoi , je ne pense pas avoir vu ou tu voyais ceci apparaitre dans ton ecriture ?

Et pour l'histoire de la recherche de point fixe, j'ai plutot l'impression que l'on cherche en fait dans le quart de plan positif pour x et y quels sont les domaines pour lesquels Un converge vers 0, 1 ou l'infini. Est ce une histoire de poit fixe ou ce n'était pas ton idée?

[busard_des_roseaux]

Excuse moi busard_des_roseaux, je relisais ta réponse et je me demandais, quel est l'interet des complexes? C'est seulement pour le calcul, ou tu voulais définir une nouvelle suite avec plus qu'un seul terme z0 au lieu des deux x et y ?

un peu des deux.

Et pourquoi , je ne pense pas avoir vu ou tu voyais ceci apparaitre dans ton ecriture ?

je ne vois plus

Et pour l'histoire de la recherche de point fixe, j'ai plutot l'impression que l'on cherche en fait dans le quart de plan positif pour x et y quels sont les domaines pour lesquels Un converge vers 0, 1 ou l'infini. Est ce une histoire de point fixe ou ce n'était pas ton idée?

oui, je regarde les points fixes:
soit
elle admet deux points fixes (0,0) et (1,1).
Le premier a pour bassin d'attraction au moins le carré:



la conjecture est la suivante:
Il y a une droite affine passant par le point A(1,1) , de pente négative
qui est une droite d'attraction instable vers (1,1). Pour (x,y) en dessous, la suite u(x,y) converge vers le point fixe (0,0) et pour (x,y) au dessus, la suite u(x,y) diverge vers . pour (x,y) sur cette droite , u(x,y) converge vers (1,1).

[busard_des_roseaux]

Est-ce que tu retrouves cette discussion dans le problème ? c'est peut être pas aussi simple car j'ai négligé les termes d'ordre 2. Disons alors à la place de cette droite, une courbe algébrique :zen: ça serait cool: un bassin d'attraction vers (0,0), , un autre vers et la frontière des deux
bassins constituée d'une courbe algébrique d'équation qui donne un ensemble d'attraction instable vers (1,1).

[BertrandR]

Le sujet ne va pas aussi loin que cela dans l'étude, et surtout je ne suis pas allé assez loin dans le probleme pour voir si ca pouvait correspondre, cependant c'était bien cela qui m'interessait, aussi je vais essayer de creuser dans cette direction pour voir ou cela mène, et surtout je vais voir si j'arrive à prouver la conjecture, ou du moins essayer de voir plus ou moins si elle est vraie. Si tu es interessé je te redonne le sujet en pdf : http://concours-maths-cpge.fr/corriges-1989/index.html
Si des détails te viennent à l'esprit je suis interessé, mais a priori tu m'as déjà beaucoup éclairé :id: . Alors un grand merci a toi :we:

P.S : Oui par contre il me semble bien que ce soit une courbe et pas une droite, il me semble avoir vu qqpart sur le net une reference à ca à propos de ce probleme

P.S bis : Par contre la ca demande reflexion parce que moi j'ai pas le niveau pour ce genre de truc (mais ca ne saurai tarder!!) faut que je vois avec mon prof pour mieux comprendre. En tout cas je vois bien l'idée générale, faut juste que j'arrive à l'exploiter comme il faut

[busard_des_roseaux]

Si tu es interessé je te redonne le sujet en pdf : http://concours-maths-cpge.fr/corriges-1989/index.html

P.S : Oui par contre il me semble bien que ce soit une courbe et pas une droite

merçi beaucoup pour l'énoncé. Faut que je voie si tout ça tient la route et si c'est cohérent avec ce qui a été dit içi.

[busard_des_roseaux]

P.S bis : Par contre la ca demande reflexion parce que moi j'ai pas le niveau pour ce genre de truc (mais ca ne saurai tarder!!) faut que je vois avec mon prof pour mieux comprendre. En tout cas je vois bien l'idée générale, faut juste que j'arrive à l'exploiter comme il faut

grosso modo, la matrice de la différentielle généralise à la différentielle des fonctions d'une variable.

[BertrandR]

Oui il me semble que je comprend, il s'agit juste de l'exploiter pour le probleme maintenant! Si tu jette un oeil à l'enoncé merci de me dire si tu as qq commentaires à faire pour me mettre sur la voie au vue de tt ce qui a été déjà dit. Enfin plutot tt ce que TU as dit ^^

[busard_des_roseaux]

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[busard_des_roseaux]

oui, j'ai lu ton énoncé: voilà les conjectures relatives à cet énoncé:

et sont trois ensembles connexes dont la réunion est le premier quadrant de

est la frontière commune de et de .

est le graphe dans ) d'une fonction de classe définie sur un intervalle [0,a] de R à valeurs dans R strictement décroissante passant par le point fixe (1,1).

est donc un sous-ensemble de d'intérieur vide.

le pointfixe (0,0) est attractif.
la question intéressante est de tracer , ce qui donne
la forme des domaines plan.

j'ai un moyen de tracer !!.
Il y a un unique point de sur l'axe x'ox. Cette valeur
"initiale" donne une suite convergente vers 1.
Son orbite (ses itérées successives, donnent des points de :zen:).

Idem avec l'unique point de de l'axe y'oy. L'orbite de cette valeur initiale donne des points de .

j'essayerai de faire l'énoncé la semaine prochaine, là , j'ai du taf :zen:
cordialement,

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

que vaut ? (J'ai des difficultés à le calculer)

[BertrandR]

Rebonsoir, pourrai tu me dire ce que tu as obtenu pour et

[busard_des_roseaux]

Rebonsoir, pourrai tu me dire ce que tu as obtenu pour et

et

En effet: