Surface de révolution - théorème de Pappus-Guldin

[MacManus]

Bonsoir!

En ce moment je me coltine de la géométrie différentielle et je n'arrive pas à faire grand chose :haasbeen:

Soit une brave courbe plane contenue dans un demi-plan et paramétrée par longueur d'arc :
: x :

Soit S la surface de révolution obtenue dans par rotation autour de l'axe (0z) de cette courbe. On paramètre S par :

1)
Calculer dans les coordonnées la 1ère et la 2ème forme fondamentale, l'endomorphisme de Weingarten, les courbures principales, la courbure moyenne et la courbure de Gauss.

Bon... ok je l'ai fait

2)
(Théorème de Pappus-Guldin)

Soit G le centre de gravité de la courbe : ses coordonnées, et sont les valeurs moyennes des fonctions et sur l'intervalle .

Montrer que l'aire de S est

3)
Montrer que chaque méridien, défini sur S par est une géodésique.
Montrer que le parallèle défini sur S par est une géodésique

4)
Pour chaque paire , calculer l'intégrale de la courbure de Gauss entre les parallèles et .

merci infiniment pour votre aide, je vais vraiment en avoir besoin...

[Ben314]

Salut,
Pour le 2), tu doit savoir que l'aire d'une surface paramétrée est :
(cela provient du fait que est l'aire du parallélogramme engendré par u et v.
Ici, en fait tu as donc

Pour le 3) tu as seulement besoin de savoir qu'une courbe paramétrée contenue dans une surface est une géodésique ssi en tout point de la courbe, le vecteur normal (de la courbe) est normal à la surface.
Il te suffit de vérifier que c'est vrai pour tout méridien ( fixé) et que c'est vrai pour un parallèle ( fixé) si et seulement si .

Pour le 4), je ne vois pas trop de difficulté : tu as déjà calculé la courbure de gauss et constaté qu'évidement elle ne dépend que de s et on te demande de l'intégrer de s0 à s1.

[MacManus]

Ok pour le 2), j'ai au moins réussi à exprimer l'aire avec l'intégrale double. Je n'avais pas fait le lien avec (puisque gamma est paramétrée par longueur d'arc).

Pour le 3) je fais le produit scalaire de la dérivée seconde de gamma (accélération) avec la paramétrisation de la surface, pour trouver 0

pour le 4) je m'en doutais en fait.

En tout cas tu m'as remotivé ! Merci Ben

[Ben314]

Pour le 3) je fais le produit scalaire de la dérivée seconde de gamma (accélération) avec la paramétrisation de la surface, pour trouver 0

Je comprend pas trop ce que tu veut dire par là...
Sinon, effectivement, les paramétrisations "naturelles" des méridiens et des parallèles (c.f. mon post précédent) sont clairement parcourues à vitesse constantes donc, dans les deux cas, le vecteur normal à la courbe est colinéaires à la dérivée seconde de la paramétrisation.
Ensuite, pour voir s'il est ou pas normal à la surface, tu peut en faire le produit scalaire avec les deux vecteurs qui définissent le plan tangent (i.e. les deux dérivées partielles de M en s et en theta) et regarder si les deux vallent 0
Tu peut aussi simplement vérifier qu'il est colinéaire au vecteur normal à la surface vu que tu as déjà du calculer ce dernier.

[MacManus]

d'accord j'ai compris. mon vecteur normal, c'est mon application de Gauss (que j'ai déjà calculé, pour calculer la 2nde forme fondamentale).
et si je fait le produit scalaire de ce vecteur normal avec les vecteurs des dérivées partielles de M, je trouve que ça fait bien 0.

Non je dis des conne.... c'est logique ce résultat !

[MacManus]

est le vecteur normal à la courbe au point s. C'est bien ce vecteur que je dois considérer.
Le produit scalaire de ce vecteur avec les dérivées partielles premières de M (qui engendrent le plan tangent à S au point s) vaut 0
Ce vecteur est aussi colinéaire au vecteur normal à la surface.

Ce qui m'intrigue, c'est que les vecteurs de la paramétrisation et le vecteur normal n'ont pas le même nombre de coordonnées... ok il s'agit d'une courbe plane, mais si je veux faire le calcul du produit scalaire ?

[Ben314]

Ben non, tes courbes sont évidement contenues dans la surface, c'est à dire dans R^3 :

Pour un méridien ( fixé), la paramétrisation "naturelle" est :


Pour un parallèle ( fixé), la paramétrisation "naturelle" est :


P.S. Tes paramétrisation des méridiens/parallèles, faut pas les appeler vu qu'y en a déjà un dans l'énoncé...

[MacManus]

toi prof , moi étudiant ! nom d'un Chassois !

merci pour tes explications