Aire surface de révolution

[Nic]

Bonjour à vous tous! Je vais essayer d'être le plus clair possible...

En fait je dois calculer la surface de révolution engendrée par la rotation autour de OX de l'astroïde d'équation :

x=acos³u }
y=asin³u }

u appartient à [0,Pi] et a>0

Afin de résoudre l'exercice il faut commencer par trouver la formule à intégrer pour un cas général de rotation autour de OX. C'est là que ça coince en fait...

J'ai ceci dans mon cours mais je ne comprends pas, donc si qqn pouvait m'expliquer chacun des termes et pourquoi c'est ainsi...

r(u, fi) = ( x(u), y(u)cos fi, z(u)sin fi )

Alors déjà ici, pourquoi x(u), y(u) cos fi , et pour z(u) sin fi ?

Le fi, que représente-t-il ? L'angle de rotation autour de OX ? Si oui pourquoi y(u) cos fi ? Que représente le y(u)? Le rayon, mais pourquoi y(u) et pas r(u) ? C'est parce qu'on tourne autour de OX et donc le rayon varie sur y en fonction de l'angle u ?

Après je sais qu'il faut faire le produit vectoriel des dérivées partielles par rapport à u et fi... Puis faire la norme du vecteur obtenu et intégrer sur le bon intervalle. Je comprends cette partie, mais pas la mise en équation du début ... Comme quoi je pige rien en fait :cry:

Si quelqu'un pourrait m'aider sur ces notions théoriques...

Je sais que je parrais stupide à poser une question pareille mais là je cale :s...

Merci à vous !

[Nic]

Bon j'ai compris ceci :

x(u) = ne peut pas changer puisqu'on tourne autour et vaut la position en x selon un angle u

y(u) = y de la courbe de l'astroide

et z(u)=0

et puis cos fi car on rabat sur l'axe y de l'angle de rotation fi... Idem pour z(u) sin fi. Donc fi serait bien l'angle de rotation tandis que le u est bien celui qui sert à dessiner la courbe de base de l'astroide.

Ce qui est bizarre c'est que ceci ne correspond pas au dessin que j'ai copié en cours où l'axe z reste vers le haut, mais le y devient l'axe x normal (vient vers nous).

La courbe de l'astroide se situe donc, dans ce dessin, entre l'axe z et l'axe x (dsl je ne saurais pas poster le dessin). Ce ne devrait pas être entre l'axe x et y au vu des équations paramétriques de l'énoncé... ? On aurait alors le dessin de l'astroide dans le plan OXY et on la ferait tourner autour de X... Dans mon cours, elle se situe dans le plan OXZ ...


Cela est-il correct ou est-ce que j'ai encore mal compris lol? Dites moi ce que vous en penser, je pense avoir besoin d'une sérieuse aide ... :mur:

[buzard]

Pour ce que je me rappel des surface de révolution, il me semble que c'est un outil pour les physiciens. alors il faut penser comme eux.

qu'est ce que c'est qu'une aire?
une somme d' élément d'aire. "elemend' air mon cher Watson"



Qu'elle élément d'aire dois-je choisir?
celui qui ce calcul le plus simplement possible, et qui s'adapte le mieux à la surface à calculer.

Alors pour une surface de révolution?
Et bien c'est simple, tu prend des tranches élémentaire d'epaisseur dx.

en gros si f(x) est la courbe dont tu veut calculer la surface de révolution autour de l'axe (Ox) entre a et b alors tu somme la surface latérale des petits cylindres d'epaisseur dx et de rayon f(x) :



Ma courbe elle est parametré, je suis perdue
Ah bon, et le changement de variable tu connais?

f(x(t)) = y(t)
d(x(t)) = x'(t)dt

et hop (un petit bon pour les maths, mais enorme pour toi) ta ton résultat

[Nic]

Merci ta réponse n'est pas mauvaise j'avais vu cette méthode en secondaire mais je ne dois pas utiliser celle-là mais une autre...

C'est un peu long à noter mais on doit écrire les équations paramétriques fonctions de deux paramètres. Ensuite chercher un vecteur normal à la surface en faisant les dérivées partielles par rapport à chaque paramètre et ensuite en faisant le produit vectoriel. On a :

x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)

et r=(x, y, z) ... logique

maintenant il faut faire la matrice (faire comme pour un jacobien en fait) et obtenir un vecteur normal. On prend sa norme et on fait l'intégrale double de cela sur avec dudv...

Je ne sais pas utiliser les symboles mathématiques sur le pc dsl...

Mon problème se situe au niveau de la paramétrisation...

[Nic]

Bon d'accord ,c'est pas très claire, mais je pense que qqn a bien du voir cela aussi... :).