Supplémentaires orthogonaux

[mehdi-128]

Bonjour,

je bloque sur la question suivante :

Soit E un espace euclidien, a appartenant à L(E). S(E) désigne les endomorphismes symétriques et A(E) les endomorphismes antisymétriques.

Montrer que des sous espaces S(E) et A(E) sont des supplémentaires orthogonaux de L(E).

Merci

[Ericovitchi]

repars des définitions
S(E) c'est l'ensemble des s tels que (x|s(y))=(s(x)|y) et
A(E) c'est l'ensemble des a tels que (x|a(y))=-(a(x)|y)

tu peux par exemple démontrer que si s+a=0 ça entraîne s=0 et a = 0
car (x|((s+a)(y))=(x|s(y))+(x|a(y))=(s(x)|y)-(a(x)|y)=((s-a)(x)|y)
donc s+a=0 entraîne aussi s-a=0 et donc s=0 et a=0 c'est une condition suffisante pour que les deux espaces soient orthogonaux

[mehdi-128]

repars des définitions
S(E) c'est l'ensemble des s tels que (x|s(y))=(s(x)|y) et
A(E) c'est l'ensemble des a tels que (x|a(y))=-(a(x)|y)

tu peux par exemple démontrer que si s+a=0 ça entraîne s=0 et a = 0
car (x|((s+a)(y))=(x|s(y))+(x|a(y))=(s(x)|y)-(a(x)|y)=((s-a)(x)|y)
donc s+a=0 entraîne aussi s-a=0 et donc s=0 et a=0 c'est une condition suffisante pour que les deux espaces soient orthogonaux

Merci

J'ai trouvé autre chose sinon :

a=(a+a*)/2+(a-a*)/2

donc : E=S(E)+A(E)