Polynômes orthogonaux (X 2005 PC)

[Gary O]

Bonjour,
j'essaye de faire l'épreuve de maths de l'X 2005 en PC dont le pdf se trouve à cette adresse, et je bloque à la question 4.a., où il est question de trouver une espèce de relation de récurrence entre polynômes orthogonaux, construits avec une méthode type Gram-Schmidt.
Elle ne m'a pas l'air si dure que ça, mais je n'arrive à rien.
Merci de bien vouloir m'aider!
Gary
(Je précise que je passe cette année en spé PC).

[Yipee]

La bonne méthode est de construire des valeurs tel que le polynôme
satisfasse aux conditions de la question d'au dessus. L'unicité fait le reste.

[Gary O]

J'ai bien essayé par cette méthode, mais je ne crois pas que ce soit la bonne, car déjà cela semble laborieux et de plus ça n'a pas l'air d'être ce qui est demandé au candidat, puisque la question d'après demande justement de trouver les constantes An et Cn.

[Yipee]

Ce n'est pas laborieux si on s'y prend bien.
On cherche et tels que
satisfasse au conditions 1,2 et 3. On laisse de coté 1 et 3 pour commencer.
On remarque d'abord que pour m<n-2 on a par linéarité en utilisant que
En suite on a

ce qui revient à

et
ce qui revient à

C'est un sytème de deux équations à trois inconnues. On pose en paramètre et on a

et
.

Bref on a donc où est fixe. Il suffit alors de choisir pour que 3 soit satisfait.

Ici on ne démontre que l'existence, et on ne fait donc pas les calculs.

[tize]

Bonjour Yipee, comment vas-tu?

Il y a quelque chose que je ne comprend pas, peut être peux tu m'éclairer, pour quelle raison a-t- on : ?

[Gary O]

Merci Yipee, je n'aurais pas dû bloquer là-dessus... :mur:
Pour Tize:
puisque forme une base de , tu peux déduire de la condition 2 que pour tout n appartient à l'orthogonal de . Or est de degré n et de degré au plus n-3 donc ces deux polynômes sont orthogonaux. De même pour qui est de degré n-1 et de degré au plus n-2. J'espère avoir été clair. :lol3:
Gary

[Yipee]

Euh... Il n'est pas évident, a priori, que et sont orthogonaux.... Il faut utiliser que vu la définition du produit scalaire et là cela marche car est dans l'orthogonal de

[tize]

OK merci Gary O et Yipee :id:

[Gary O]

Oups! Je suis en effet allé un peu trop vite (j'avais oublié que si A est inclus dans B l'orthogonal de B est inclus dans l'orthogonal de A et pas l'inverse... N'importe quoi!)