Sup et Inf d'une suite de fonction

[Matheco]

Bonjour

Je cherche à comprendre ce que représente Sup et Inf d'une suite de fonction (fn)n>=0
- Le Sup de (fn)n>=0; Est- ce une fonction parmi (fn)n>=0 qui est supérieure en tout point de l'ensemble de définition à toutes autres fonctions de (fn)n>=0 ?
- Le Inf de (fn)n>=0; Est- ce une fonction parmi (fn)n>=0 qui est inférieure en tout point de l'ensemble de définition à toutes autres fonctions de (fn)n>=0 ?
Si tel est le cas, qu'est ce qui nous assure que ces deux fonction Sup et Inf existent en effet ?

De plus qu'est ce que la lim inf en + l'infini et la lim sup en + l'infini de (fn)n>=0 ?

Est ce tout simplement la lim en + l'infini de Inf (fn)n>=0 et lim + l'infini de Sup (fn)n>=0 telle que je l'ai défini précédemment ?

J'ai conscience de dire sans doute n'importe quoi, en espérant m'être fait comprendre, merci.

[Doraki]

Normalement Sup(fn) est la fonction qui à x associe sup{fn(x) ; n dans N}, et pareil pour inf, limsup, et liminf.

[Matheco]

Merci bcp mais justement c'est quoi sup{fn(x) ; n dans N} ?

[Doraki]

C'est la borne supérieure de l'ensemble {f0(x) ; f1(x) ; f2(x) ; ... }

[Matheco]

Je sais ce qu'est la borne supérieur d'une fonction c'est le plus petit des majorant.
Mais ce que je cherche à comprendre c'est justement ce qu'est la borne supérieure d'une suite de fonction. Quelle est sa définition?

[Doraki]

Ben je viens de te la donner, c'est la fonction qui à x associe la borne supérieure de la suite {f0(x) ; f1(x) ; f2(x) ; f3(x) ; ... }

=/

En gros tu peux intervertir l'opération borne sup et l'évaluation des fonctions en un point.

[Matheco]

Quand tu écris {f0(x) ; f1(x) ; f2(x) ; f3(x) ; ... } tu parles pour x fixé ou pour x appartenant à un ensemble ?
Parce que pour x fixé il s'agit là d'un ensemble de nombre dont il est aisé effectivement de trouver le maximum.
Mais pour moi x n'est pas fixé il est quelconque dans l'ensemble de définition.

EN gros pour schématiser je demandais si la borne sup d'une suite de fonction c'était bien celle représenté par la courbe au dessus de toutes les autres en tout point de l'ensemble de def.

Sinon tant pis c'est sûrement moi qui ne comprends rien merci quand même

[Ben314]

Salut,
Pour chaque x de l'ensemble de définition des fonctions fn, tu regarde la max de l'ensemble {f1(x),f2(x),...}.
Ce max va vraisemblablement dépendre du x choisi et c'est lui qui est (par définition) la valeur de (Sup f_n)(x).

C'est le graphe de la fonction Sup(f_) (si tant est que le sup existe) est effectivement la "plus petite courbe qui est au dessus de toute les autres", mais, contrairement à ce que tu dit dans je sais plus quel post précédent, il n'y a aucune raison que ce soit une des fonction fn.
Cela vient du fait que, contrairement aux cas des réels, la relation d'ordre sur les fonctions n'est pas "totale", c'est à dire que, si tu prend deux fonctions f et g, tu peut trés bien n'avoir ni f<=g, ni g<=f.
Dans ce cas, clairement, h=sup(f,g) ne sera ni f, ni g vu que h doit majorer f et g.

[Matheco]

Parfait merci bcp c'est ce que je voulais savoir

[Matheco]

Et merci Doraki je viens de comprendre ce que tu voulais me dire je ne sais pas pourquoi pas tilter tout de suite :)