Suites récurrentes

[jeje56]

Bonjour,
Je ne vois plus bien la définition d'une suite récurrente :
La suite définie par est-elle récurrente ?
La suite définie par est-elle récurrente ? Puisque l'on peut trouver une relation entre et ...

Merci bcp !

[Le_chat]

Ben une suite récurrente, c'est une suite que l'on définit par récurrence: on prend une fonction f_n, et un+1=f_n(un,un-1,...u0), Un+1 est fonction des termes Un,...U0.

Après, c'est une question de point de vue pour dire si une suite est récurrente. La première oui, elle est récurrente vu qu'on la définit avec la récurrence.

La seconde, l'énoncé t'incite à dire non, je pense, mais on peut très bien définir la suite racine(n) par récurrence, de manière artificielle, genre U0=0 et Un+1=Un+racine(n+1)-racine(n). C'est la même suite, après c'est une question de point de vue.

[Doraki]

Si y'a pas de définition de "suite récurrente" dans ton cours, ben demande-là à ton prof.
Si y'en a pas, ça sert à rien de s'interroger si une suite est récurrente ou non.

Moi je dirais "une suite telle qu'il existe une fonction f tel que pour tout n, u(n+1) = f(un)" ; ce qui équivaut à des détails près à "une suite injective ou ultimement périodique".
(si on autorise f à dépendre de n, c'est idiot vu que toutes les suites sont alors récurrentes)

[Le_chat]

Oui mais du coup toutes les suites "définies par récurrence" ne sont plus récurrentes, ce qui fait bizarre.

[Doraki]

Oui mais du coup toutes les suites "définies par récurrence" ne sont plus récurrentes, ce qui fait bizarre.

ah ben le problème c'est que "être défini par récurrence" ben c'est pas une propriété de la suite elle-même. La question "est-ce que la suite machin est définie par récurrence ?" n'a pas tellement de sens mathématique.


Ou sinon on pourrait parler pour une suite de fonctions (fn), de l'ensemble des suites définies par les relations u(n+1) = fn(un). Là c'est un ensemble d'objets qui n'est pas trivial.

(l'ensemble des suites définies par les relations u(n+1) = fn(u0, ..., un) est encore un peu stupide parceque c'est la même chose que "un ensemble qui contient pour toute valeur possible de u0, une seule suite dont le premier terme vaut u0").

[ED102]

Hi !

Je me permet de poster ma question ici pour ne pas encombré le forum de d'avantage de nouveau sujet.

Ma question porte sur l'étude de suites récurrente type Un+1 = f(Un)

Soit Uo=1
et Un+1 = 1\(2+Un)

Selon mon enseignant on doit suivre ce schéma

1) Etablir le tabl de Variation de f et montrer l'existence de la suite (Uo I=Df et F(I);)I alors Un I)

f(x)= 1\(2+x)
f'(x) = -1\(2+x)²

1er intervalle invariant :

]-2; +;)[

Comme f(]-2; +;)[)=]0;+;)[ ]-2; +;)[

La suite Un est bien définie

Bon ensuite je présume qu'il faut savoir si Un est Convergente et connaitre sa limite

Alors euh ... dans le cas où f est décroissante il faut considérer ;

g = fof qui est croissante sur I
Et prendre les suites extraites (U2n) et (U2n+1)

Et ensuite, montrer quelles converges vers la même limite et donc (Un) converge aussi vers cette limite, Non ?

Mais ... en faite,comment je fais avec U2n et U2n+1, :marteau: Merci

[Skullkid]

Salut, tu as U(2n+2) = g(U(2n)) et U(2n+3) = g(U(2n+1)) et g est croissante, donc tu fais comme d'habitude avec ces deux nouvelles suites. Note qu'a priori il n'y a aucune raison pour que les deux convergent vers la même limite. Il aurait aussi pu être intéressant de mettre en lumière un intervalle invariant plus petit, par exemple [0,1], qui a l'avantage d'être borné.

[ED102]

Salut, tu as U(2n+2) = g(U(2n)) et U(2n+3) = g(U(2n+1)) et g est croissante, donc tu fais comme d'habitude avec ces deux nouvelles suites. Note qu'a priori il n'y a aucune raison pour que les deux convergent vers la même limite. Il aurait aussi pu être intéressant de mettre en lumière un intervalle invariant plus petit, par exemple [0,1], qui a l'avantage d'être borné.

Comme d'habitude ?

du genre Un+1 - Un et trouver un majorant/minorant

Par exemple si je prend un intervalle [0,2] qui est aussi invariant tel que f(1)=1\2 et f(2)= 1\4
Donc Un est bornée

Etudions Vn = u2n

Vn+1 = U2(n+1) = U2n+2 = fof(U2n)

On pose g=fof (donc f est stable sur [0,2]
De plus U1 = 1\2 et U2 = 1\4

mais U1 et U2 sont < Uo ??? berk j'en conclus quoi de ça ou je me goure ?

[Skullkid]

Les suites du type U(n+1) = f(Un) avec f croissante sont monotones. Donc, dans ton exercice, (U(2n)) et (U(2n+1)) sont monotones. De plus, U est bornée, donc...

[ED102]

Les suites du type U(n+1) = f(Un) avec f croissante sont monotones. Donc, dans ton exercice, (U(2n)) et (U(2n+1)) sont monotones. De plus, U est bornée, donc...

Toute suite extraite est convergente ?

[Skullkid]

Toute suite extraite est convergente ?

Non, mais toute suite extraite d'une suite bornée est elle-même bornée. Donc les suites (U(2n)) et (U(2n+1)) sont bornées et monotones, donc convergentes. Deux cas sont alors envisageables : soit elles convergent même la même limite, auquel cas U converge vers cette limite, soit les deux limites sont distinctes et U est divergente. Reste donc à trouver les limites des deux sous-suites.

[ED102]

Non, mais toute suite extraite d'une suite bornée est elle-même bornée. Donc les suites (U(2n)) et (U(2n+1)) sont bornées et monotones, donc convergentes. Deux cas sont alors envisageables : soit elles convergent même la même limite, auquel cas U converge vers cette limite, soit les deux limites sont distinctes et U est divergente. Reste donc à trouver les limites des deux sous-suites.

Ne dois-je pas montrer que l'une est croissante et l'autre décroissante (ou les 2 croiss/décroiss) ?
Etudions Vn = u2n

Vn+1 = U2(n+1) = U2n+2 = fof(U2n)

On pose g=fof (donc f est stable sur [0,2]
De plus U1 = 1\2 et U2 = 1\4
Etudions Vn = u2n

Vn+1 = U2(n+1) = U2n+2 = fof(U2n)

On pose g=fof (donc f est stable sur [0,2]
De plus U1 = 1\2 et U2 = 1\4

Donc V1=1/4 et Vo=1/2

Vo-V1 => 0 donc V1 => Vo et ensuite il faut le prouver par récurrence

___________________________
Leurs Limites ?, Je ne vois pas comment on les calculs

[Skullkid]

Ce qui t'intéresse c'est U, tu étudies ses sous-suites parce que tu veux avoir des informations sur U, donc c'est pas la peine de faire une étude complète des sous-suites. Elles sont forcément monotones de sens contraire, mais ça n'a pas d'importance. Les deux sous-suites sont du type U(n+1) = g(U(n)) avec g une fonction continue que tu connais. Et on a montré qu'elles étaient convergentes. Donc leur limite est un point fixe de g. Quels sont les points fixes de g ?

[ED102]

Ce qui t'intéresse c'est U, tu étudies ses sous-suites parce que tu veux avoir des informations sur U, donc c'est pas la peine de faire une étude complète des sous-suites. Elles sont forcément monotones de sens contraire, mais ça n'a pas d'importance. Les deux sous-suites sont du type U(n+1) = g(U(n)) avec g une fonction continue que tu connais. Et on a montré qu'elles étaient convergentes. Donc leur limite est un point fixe de g. Quels sont les points fixes de g ?

Point fixe ? Kezako ?

[Skullkid]

Un point fixe d'une fonction f est une solution de l'équation f(x) = x. Relis ton cours sur les suites récurrentes (éventuellement celui de terminale si ton prof actuel n'en a pas fait un rappel exhaustif), tout est censé y être.

[ED102]

Un point fixe d'une fonction f est une solution de l'équation f(x) = x. Relis ton cours sur les suites récurrentes (éventuellement celui de terminale si ton prof actuel n'en a pas fait un rappel exhaustif), tout est censé y être.

Posons h(x) = f(x) - x

h'(x) = - (x²+4x+5)/(2+x)²

Donc h est strictement décroissante sur [0,2]
et h(0) = 1/2 , h(2) = -7/4

Donc h ne s'annule qu'une fois en une valeur (l) sur [0,2]

C'est comme ça qu'il faut faire ?
Si oui et après

On résoud 1/2+x = x

on trouve une équation du second degrès : x²+2x-1 = 0
On fait le DELTA

on trouve x1 = -1-sqrt(2) et x2 = -1 + sqrt(2)

seul x2 appartient à [0,2]

donc l = -1 + sqrt(2 ?

[Skullkid]

Ce que tu veux c'est les points fixes de g, car ce sont eux qui sont les candidats limite pour les suites (U(2n)) et (U(2n+1)). g(x) = f(f(x)) = (x+2)/(2x+5), cette fonction n'a qu'un seul point fixe sur [0,2], à savoir sqrt(2)-1. Donc les deux sous-suites convergent vers sqrt(2)-1, donc U converge vers sqrt(2)-1.

Il aurait été possible que g admette des points fixes non fixes par f.

[ED102]

Ce que tu veux c'est les points fixes de g, car ce sont eux qui sont les candidats limite pour les suites (U(2n)) et (U(2n+1)). g(x) = f(f(x)) = (x+2)/(2x+5), cette fonction n'a qu'un seul point fixe sur [0,2], à savoir sqrt(2)-1. Donc les deux sous-suites convergent vers sqrt(2)-1, donc U converge vers sqrt(2)-1.

Il aurait été possible que g admette des points fixes non fixes par f.

Tu as fait le même type d'étude que j'ai fait pour déduire le point fixe de g et la limite ?
Est-il nécessaire lorsque la fonction est décroissante d'étudier deux sous-suites ?

Et après c'est tout , j'ai fini l'étude de ma suite récurrente ?

[Skullkid]

Tu as fait le même type d'étude que j'ai fait pour déduire le point fixe de g et la limite ?

Oui, sauf que toi tu as étudié les points fixes de f, pas de g. Comme dit, g pourrait avoir des points fixes qui ne sont pas points fixes de f. Ici le passage par les variations est inutile, l'équation se résout directement.

Est-il nécessaire lorsque la fonction est décroissante d'étudier deux sous-suites ?

Si la fonction est croissante, la suite est monotone donc ça ne sert à rien de s'embêter à aller chercher des sous-suites. Le but du jeu dans l'étude générale d'une suite c'est la monotonie et la convergence. Le moyen le plus facile de prouver la convergence c'est d'utiliser le théorème "toute suite croissante et majorée/décroissante et minorée est convergente" donc si on a le caractère borné mais qu'on n'a pas la monotonie, on cherche des sous-suites monotones. Une fois que tu as statué sur la monotonie et la convergence de ta suite (ici U n'est pas monotone mais converge vers sqrt(2)-1), tu as fini l'étude générale.

[ED102]

Juste, ton équation du second ordre donne 2x²+4x-2=0 ?

parce que je retrouve pas sqrt(2) -1