Polynôme annulateur d'un endomorphisme de suites récurrentes

[Veronika]

Voici un exo anodin en apparence, qui a l'air très intéressant. Mais je bloque à la question 3, à "En déduire T^n". Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci !
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On considère l'ensemble E des suites complexes qui vérifient la relation de récurrence :
(R) qq soit n appartient à N, u_(n+4) ;) 2 u_(n+3) + 2 u_(n+2) ;) 2 u_(n+1) + u_n = 0
1. Montrer que c’est un C-espace vectoriel et préciser sa dimension.
2. Montrer que l’application T : (u_n) ;) (u_(n+1)) est un endomorphisme de
E.
3. Trouver un polynôme annulateur de T. En déduire T^n en fonction de
certaines puissances de T. Puis l’expression du terme général u_n d’une
suite de E en fonction de u_0, u_1, u_2, u_3 et de l’entier n.
4. Etudier l’ensemble E_R des suites réelles qui vérifient la relation de récurrence (R).

[SimonB]

A partir du polynôme annulateur, il suffit d'isoler d'un côté la plus grande puissance de T et de multiplier par la puissance de T qui te permet d'obtenir T^n... Que trouves-tu comme polynôme annulateur ?

[Veronika]

(R) donne P(T) = T^4 - 2 T^3 + 2 T^2 - 2 T + Id(C^N) = 0
Qui se factorise en P(X) = (X-1)^2 (X-i) (X+i)

[SimonB]

(R) donne P(T) = T^4 - 2 T^3 + 2 T^2 - 2 T + Id(C^N) = 0

Donc tu en tires , et donc pour n plus grand que 4,

[Veronika]

Mais c'est pas ça qu'on veut. On veut T^n en fonction de certaines puissances, qui soient _toujours les mêmes_. En l'occurence, je pense qu'il faut l'exprimer en fonction de Id, T, T^22 et T^3.

J'ai écrit
T^n = a_n T^3 + b_n T^2 + c_n T + d_n Id
J'ai utilisé la relation sur T pour exprimer a_(n+1), b_(n+1), c_(n+1), d_(n+1) en fonction de a_n, b_n, c_n, d_n.
J'appelle X_n le vecteur colonne (a_n, b_n, c_n, d_n). J'obtiens donc X_(n+1) en fonction de X_n via une matrice 4 * 4 que j'appelle A. Je veux la diagonaliser pour obtenir ses puissances. Son polynôme caractéristique est précisément le polynôme annulateur de T, valeurs propres 1 (double), i et -i. Mais l'espace propre associé à 1 n'est semble-t-il que de dimension 1, et là je bloque.

[Maxmau]

Bonjour

Divise X^n par l’annulateur et détermine le reste de cette division en utilisant les racines de l’annulateur. Enfin fais X = T

Attention:poser la division sans la faire (sans chercher le quotient)

[girdav]

Salut.
Puisque la matrice n'est pas diagonalisable, on peut essayer de la trigonaliser, puis de la décomposer en somme de deux matrices : l'une diagonale et l'autre nilpotente. Le calcul de la puissance sera plus simple car les matrices commutent.