Suites numériques exercice

[Yozamu]

Bonjour à tous.
J'ai un exercice à faire mais je ne sais pas comment démarrer.
Voici l'énoncé:

Soit u et v 2 suites à valeurs dans [0,1] telles que lim UnVn = 1 (quand n->+inf)
Prouver que u et v convergent vers 1

Merci d'avance

EDIT:
J'ai pensé à faire ceci:

D'apres un théorème du cours, Si on a limUn=l et limVn=m, alors limUnVn=lm.
Et c'est là que je sais pas trop comment rédiger. En gros je cherche à dire:
u et v sont des suites à valeur dans [0,1], donc en gros l=m=1 parce que sinon... Bah on peut pas obtenir 1 comme résultat final!

[Matt_01]

Là tu supposes que les deux suites convergent, alors qu'on le sait pas encore.
Si tu écris u_n>=u_nv_n, arrive tu à déduire quelque chose ?

[Yozamu]

Je ne sais pas..
Un>=UnVn?
J'aurais bien dit quelque chose du genre 1>=Vn mais vu qu'au final ça ne m'avance pas beaucoup et que je ne sais meme pas si Un est croissante ou décroissante... Je ne pense pas avoir d'autre solution

[Matt_01]

L'inégalité que j'ai écrite est simple (elle tient du fait que v est dans [0;1]).
Maintenant, si tu écris que u est inférieure à 1, y a moyen d'utiliser le théorème des gendarmes.

[Yozamu]

Je ne comprends pourtant pas quel est le résultat attendu a propos de ton inégalité..

Et, ais je le droit d'écrire que u est inférieure à 1, alors que je n'ai pas le droit de dire qu'elle converge? Et puis, je connais le théorème des gendarmes, pourtant je ne saurais l'appliquer ici

[Alannaria]

Les critères de convergence liés aux opérations (in)habituelles sur les limites de suites ont leurs échos ici.

[Yozamu]

D'après un des tableaux dans le lien de Alannaria, j'ai pu voir que pour obtenir une limite de produit égale à l, il faut que les deux suites concernées aient une limite finies, donc elles doivent être convergentes, non?

[Matt_01]

U est à valeurs dans [0;1] donc oui on peut dire qu'elle est inférieure à 1.
Donc si t'écris unvn<= un <= 1 (le fait que les suites soient positives est important, pour justifier le sens de l'inégalité) ...

[Yozamu]

Ah bon ?

Je pensais qu'il fallait le sens de variation des limites et non leur signe...

[arnaud32]

tu peux travailler sur les valeurs d'adherence des suites.

[Matt_01]

Pourquoi parles tu de sens de variation ?

[Yozamu]

Arnaud, je n'ai pas encore étudié ça je pense, ou alors je ne connais pas ce terme.

Matt, je parle de sens de variation parce que je pensais que le sens de l'inégalité changeait uniquement selon le sens de variation, or là tu dis que le sens des inégalités se justifie car les suites sont positives

[Alannaria]

Ah bon ?

Je pensais qu'il fallait le sens de variation des limites et non leur signe...

Ecoute bien Matt_01 et arnaud_32 en répondant à leurs intérrogations respectives : l'adjacence au bac.

[Yozamu]

Est-ce que ma réponse est juste si j'écris ceci? (je m'appuie sur les explications de Matt, reste à voir si j'ai compris et si ce que je dis est suffisant):

u et v sont à valeur dans [0,1]
le fait que v soit à valeur dans [0,1] nous permet d'affirmer que:
UnVn<=Un
De plus, u est à valeur dans [0,1] également, ce qui prouve alors que Un<=1
De cela on déduit que UnVn<=Un<=1
De là, on passe aux limites, et on a donc que:
1<=lim Un<=1
D'apres le théorème des gendarmes, on déduit que lim Un = 1.
Ensuite, sachant qu'une des suites est convergente et que le produit des deux est convergent également, on en déduit que v converge également vers 1.

Dites moi que c'est ça... le raisonnement m'avait l'air logique.

[Matt_01]

Dans la seconde ligne de ta démo, il faut aussi rajouter que u est positive. En effet, on part de vn<=1, et l'inégalité est preservée en multipliant par un ssi un est positive.

Ensuite, tu n'as peut etre pas bien compris le théorème des gendarmes : si une suite est encadrée par deux suites convergeant vers la meme limite, alors elle converge, et ce vers la meme limite.
Toi tu écris lim un avant l'utilisation du théorème, alors que c'est justement ce théorème qui te permet de dire que lim un existe.

[Yozamu]

D'accord, merci des précisions. J'ai une question dans ce cas.
Puisque Un est la suite est encadrée, et qu'on peut utiliser le théorème des gendarmes, cela veut dire que Un est encadrée de deux suites n'est-ce pas?
Du coup UnVn on en connait la limite et c'est une suite, mais de l'autre coté de l'inégalité, je veux dire Un<=1, 1 n'est pas une suite non?
Ou alors juste une suite sans variable, une suite constante, donc lim 1 = 1?