Suites majorée

[normo]

Bonjour,
j'ai quelques problèmes avec un exo...
énoncé:
Un+1=Un+Un²
U0=a,a appartient à R+*
et
Vn=1/(2^n)*ln(Un)

On me demande de prouver que la suite Vn est majorée et qu'elle tend vers une limite L

On sait que Un est croissante et positive, qu'elle diverge vers +infini
et que Vn+1-Vn=1(2^n+1)*ln(1+(1/(Un)))

Donc je pense que c'est un raisonnement pas réccurence mais je ne vois pas comment l'organiser, de plus pour trouver le majorant j'ai fait Vn-V0 et j'ai fait tendre n vers +infini ce qui nous donne ln(a) est-ce le majorant??
Et pour la limite je ne vois pas car l=f(l) n'est pas appliquable ici, je me trompe??

Merci de m'aider

[Imod]

Je ne vois pas une récurrence mais plutôt une somme télescopique . Comme un est positive et tend vers +inf alors {ln(1+1/un} est majoré par M donc :


vn est majorée par v0+M et comme elle est croissante elle admet une limite L .

Imod

[Imod]

En fait je me suis compliqué la vie pour rien , comme un est positive et croissante , ln(1+1/un)
Imod