Suites de fonctions

[Sylar]

Bonjour,j'aimerai avoir une idée pour résoudre cet exercice:

Montrer qu'on ne peut extraire de la suite de fonctions définies sur [0;1] par sin(nx) une sous suite qui converge simplement (sur le même intervalle ).

Merci....

[Sylar]

J'ai vraiment aucune idée..... :briques:

[yos]

Bonsoir.
Je pense que c'est pas évident. On ne peut pas se contenter de travailler avec un x fixé : par exemple on doit pouvoir extraire une sous-suite convergente de sin n.
Si tu supposes que pour tout x de [0,1], tu peux regarder la limite de pour de deux façons différentes. Cela te donne
.
C'est pas encore une contradiction, il faut travailler un peu plus.

[Sylar]

Ah ok merci,effectivement c'est loin d'etre évident...

[kazeriahm]

une autre piste : je note g la fonction strictement croissante de N dans N "realisant la suite extraite"

on fixe e>0. Pour tout x de [0,1] on peut trouver un rang n0 a partir duquel

|sin(g(m)*x)-sin(g(n)*x)|
En utilisant les formules de trigo ca donne

2*|sin( [ g(m) - g(n) ]*x/2) * cos ( [ g(m) + g(n) ]*x/2|
bon et la j'esperai trouver un x irrationel bien choisi pour trouver une contradiction mais...

[Sylar]

Oui ,c'est une idée mais faut trouver un x pour lequel la limite de cette différence n'est pas nulle.........

[kazeriahm]

nan mais en fait j'ai un peu regardé ca mène a rien je crois je n'ai fait que réécrire le pb

[Sylar]

ok dommage alors.

[Sylar]

La méthode de yos est sans doute intéressante.
Mais j'ai pas compris comment on obtient: f(2x)^2=4f(x)^2[1-f(x)^2].

[kazeriahm]

sin(phi(n)*x) converge vers f(x) quand n tend vers l'infini.

donc en élevant au caré on a sin(2*phi(n)*x)^2 tend vers f(x)^2.

Or sin(2y)^2=4*sin(y)^2*cos(y)^2. Il suffit de remplacer cos(y)^2 par....

[Sylar]

Ah ok ,cos^2=1-sin^2 ,merci.

[Yipee]

une autre piste : je note g la fonction strictement croissante de N dans N "realisant la suite extraite"

on fixe e>0. Pour tout x de [0,1] on peut trouver un rang n0 a partir duquel

|sin(g(m)*x)-sin(g(n)*x)|<e.

En utilisant les formules de trigo ca donne

2*|sin( [ g(m) - g(n) ]*x/2) * cos ( [ g(m) + g(n) ]*x/2|<e

bon et la j'esperai trouver un x irrationel bien choisi pour trouver une contradiction mais...

Je ne pense pas que cette méthode puisse marcher car si on fixe x alors on peut extraire une sous suite convergente de la suite sin(nx) (pour une simple raison de compacité). De ce fait, par extraction diagonale, on peut trouver une sous suite qui converge en un nombre dénombrable de points (par exemple Q).

Il faut donc utiliser des arguments qui utilise R.

Je me disais, mais je n'ai pas vérifié que c'était juste, que le graphe de l'éventuelle limite semblait dense dans [0,1]x[-1,1]. Mais bon je ne sais pas quoi en faire...

[Yipee]

Je crois avoir trouvé. On suppose donc qu'il existe une suite extraite telle que converge simplement vers f. Il suffit de remarquer que

On pose I=[0,1]. On sait que

On a donc

Si on fait tendre n vers l'infini, on obtient par convergence dominée que
. Mais on a aussi par convergence dominée que
C'est absurde.

Cool pour un 200eme message !

[yos]

Très bien vu. On voit la puissance du th de convergence dominée.

PS : il manque un signe "=".

[kazeriahm]

Je ne comprends pas quelqu'un peut m'expliquer svp?

[Sylar]

Pareil ,j'ai pas compris.

[kazeriahm]

oulala nawak ence moment

u(n) tend vers l'infini

[Yipee]

Très bien vu. On voit la puissance du th de convergence dominée.

PS : il manque un signe "=".

En effet, d'ailleurs je ne sais pas d'où sort cet exo mais au programme de prépas on demande que la limite soit pas hypothèses continue par morceaux. Cela bloque...

[kazeriahm]

alors qu'on peut avoir une hypothese plus faible?

[Yipee]

Si on prend l'intégrale au sens de Lebesgue. On suppose que les fonctions f_n sont mesurables et dominées. La limite est alors mesurable.