Suites de fonctions

[Engel10]

Bonjour à tous. Vous allez bien j'espère.
OK j'ai traité cet exercice :

Pour la question 1. je trouve que (fₙ)ₙ converge simplement vers la fonction f definie par : f(x)={ 1 si x=0 , √( 1-x²) si x∈[-1,1]\{0}.
Pour la 2. effectivement j′ai vu que ça converge uniformement sur ]0,1].
Mais j′ai un probleme à la question 3.
parce que je trouve que (fn)n converge uniformement en 0. Je veux savoir si vous trouvez le meme résultat.
Merci d′avance et bonne journée !

[GaBuZoMeu]

Mais j′ai un probleme à la question 3.
parce que je trouve que (fn)n converge uniformement en 0.

Converger uniformément en un point, ça ne veut rien dire.
Je te suggère de regarder ce que tu peux dire de la fonction sur l'intervalle .

[aviateur]

Bonjour
Tu as vu que converge simplement vers la fonction f définies sur [-1,1] par

D'un point de vue pratique il faut savoir que la convergence simple (resp. uniforme) d'une suite vers une fonction f sur sur un ensemble X est équivalente à la convergence simple (resp. uniforme) de la suite
vers la fonction nulle (notée 0) sur X. Cela à l'avantage d'avoir une convergence vers 0.

Donc pour montrer que cette suite ne CV pas uniformément, il faut montrer que l'assertion
est fausse,
où j'ai posé et .

Effectivement le problème vient du comportement au voisinage de 0.
Pour cela on remarque que
tend vers (quand n tend vers l'infini). Et comme on ne peut avoir qui tend vers 0.
D'où la non CVU de vers f sur [0,1]