Suites de fonctions

[Anonyme]

Bonjour,
On dira qu'une suite (fn)n de fonctions continues sur un intervalle I de R vérifie la propriété (P) si pour tout t de I et toute suite (tn)n d'éléments de I convergeant vers t, la suite (fn(tn))n converge.

1) Montrer que si une suite (fn)n de fonctions continues sur IcR vérifie (P), alors pour tout t fixé dans I et toute suite (tn)n d'éléments de I convergeant vers t, les suites (fn(tn))n convergent vers la même limite. On notera f(t) cette limite.

2)Montrer que si une suite (fn)n de fonctions continues sur IcR vérifie (P), alors la suite converge simplement vers f. Que pensez-vous de la réciproque?

3)Soit I=]0,1]; en considérant la suite de fonctions (fn)n définies par:
fn(x)=nx/(1+nx)
montrer que (P) n'entraine pas la convergence uniforme. Montrer qu'en revanche, la convergence uniforme entraine (P).

Merci

[yos]

1) On prend deux suites (tn) , (sn) qui tendent vers t. On sait que les suites (fn(tn)) et (fn(sn)) convergent. Il faut montrer qu'elles ont la même limite. Ce qui revient à montrer que (fn(tn)-fn(sn)) converge vers 0. Pour cela, on utilise la continuité de fn (n fixé) en t. En abrégé :
.
D'où le résultat.

2) La première partie est évidente en prenant pour suite (tn) la suite constante égale à t. La réciproque est bien sûr fausse. Un contre-exemple :
converge simplement sur [0,1] avec . Mais converge vers 1/e