Suites de fonction

[pierresimpore]

bonjour, aider moi à terminer cet exercice svp:
soit k un entier positif ou nul . fn la suite de fonction définie par
fn(x) = x^k / (x² + n)
a) donner une condition necessaire et suffisante pour que cette suite converge uniformement sur R
b) pour quelle valeurs de k cette suite converge t-elle uniformement sur toute partie bornée de R .
voici mes reponse:

a) convergence simple: la suite converge simplement vers la fonction nulle
pour que cette suite converge uniformément sur R il faut que
lim Sup ( fn(x) ) = 0
mon problème c'est la détermination du Sup: j'ai considéré la fonction fn(x) et j'ai essayé de l’étudier sur R et voila ce que je trouve

f ' (x) = x^(k+1) [ x²(k-2) - nk] / (x² + n)² à partir de là tout ce complique devant.

[zygomatique]

salut

pour tout n x^k/(x^2 + n) --> +oo quand x --> oo pour tout k > 2

[Robic]

Bonjour ! Si on suppose que k est non nul (sinon il faut traiter le cas k=0 séparément), je trouve presque la même chose :
f'(x) = x^(k-1) [ x²(k-2) + nk] / (x² + n)².

Là, ça ne me paraît pas trop compliqué :

- Si k=1, on obtient : f'(x) = [-x² + n] / (x² + n)² dont le signe est celui de -x² + n. Facile à traiter.

- Si k=2 alors k-2 est positif, du coup on a deux cas :
a) Si k est pair : x^(k-1) est du même signe que x. De plus x²(k-2) + nk est forcément positif si k >=2. D'où le tableau de signe...
b) Si k est impair : x^(k-1) est toujours positif, et x²(k-2) + nk aussi, donc la dérivée est positive sur R.

Tout ça concerne juste l'étude de la dérivée, je ne dis pas que c'est forcément la meilleure idée puisque Zygomatique indique une méthode plus rapide (qui montre que le sup est infini pour k>2).

[pierresimpore]

ok je vais essayé de traiter tout ces cas et trouver la condition

[Robic]

Tiens plutôt compte de la remarque de zygomatique, ça élimine plein de cas.