Suites croissance

[clemenceB]

Bonjour ,

Je travaille sur un exercice sur les suites. L' énoncé donne la suite Un définie par Un = ln ( Un-1 + 3).

n-1 et n étant des indices.

Je n' arrive pas à démontrer la croissance de la suite ni le fait qu elle soit convergente , meme si j' arrive à le conjecturer grace à une représenbtation graphique.

Je serais trés reconnaissante de votre aide

[Nightmare]

Salut,

il faudrait préciser le premier terme. Sinon, quelles sont les méthodes que tu as vu pour étudier la monotonie d'une suite?

[Pythales]

te permet de connaître le signe de en fonction de celui de

[clemenceB]

le premier terme est Uo= 0 puis on doit également le faire en prenant Uo = 5
J ai essayé de voir le signe de Un+1- Un ou de voir si le quotient est inférieur ou supérieur à 1 sans réel succès.

Autrement avec un raisonnement par récurrence je m embrouille les pinceaux.

Je ne sais pas quoi supposer , on a bien U1 > Uo mais aprés je ne sais pas quoi faire , il me semble bizarre de supposer Un+1 > Un. bref je ne sais pas quelle méthode faire.

J ai également essayé d' étudier le signe de la fonction Un+1 - Un mais elle est positive puis négative et je n' aarive pas à trouver la valuer d' annulation.

[Nightmare]

Sinon, la fonction est croissante, ce qui assure que la suite est monotone (pourquoi?). Je te laisse conclure (comment?) :lol3:

[clemenceB]

Un+1 = f(Un)
Un+2= f ( Un+1)

Un+2 = f o f (Un). Par composition de fonctions croissantes, cela permet de conclure à U n+1 > Un ?

[Nightmare]

Je ne vois pas trop comment conclure que U(n+1) > U(n).

Simplement :

Une fois U0 donné, U1=f(U0)

Si U1 > U0 alors f(U1) > f(U0) ie U2 > U1, puis f(U2) > f(U1) ie U3 > U2 etc. et donc la suite est croissante.

Si U1 < U0 alors f(U1) < f(U0) ie U2 < U1 etc.

tu sais ce qu'il te reste à faire.

[clemenceB]

Oui ok c' est assez évident comme méthode, je suis vraiment pas à l' aise sur les suites.
Je dois maintenant montrer que la suite est majorée , je ne sais pas quelle méthode utiliser

[Nightmare]

Essaye de te repérer par rapport au point fixe de f. Ici, on a un point fixe entre 0 et 5. Si ton premier terme est en dessous de ce point fixe t. Alors (l'inégalité est vraie car f est croissante)

de même etc. On déduit facilement par récurrence que .

Essaye de voir ce que tu peux faire lorsque le premier terme est supérieur au point fixe.

[clemenceB]

Mais sans ce servir d un graphique comment est ce qu on peut determiner le point fixe ?
Es essayant?

[Ben314]

Mais sans ce servir d un graphique comment est ce qu on peut determiner le point fixe ?
Es essayant?

Tu n'as pas vraiment besoin de déterminer la[les] valeur[s] exactes des éventuels points fixes : le tout est de montrer qu'il y en a un (ou plusieurs) et de savoir où il[s] se situe[nt] par rapport à to Uo.

Pour montrr qu'un réel tel que... existe il suffit souvent d'étudier une fonction bien choisie et de montrer à l'aide du tableau de variation qu'elle s'annule...

[Pythales]

Le pint fixe est défini par et donc
Si alors , le log est positif et
Idem si