Suites convergente

[Damien088]

Bonjour,
j'essaie de faire cet exercice seulement je ne sais pas par où commencer pour répondre à ses questions, pouvez-vous m'aider ?

On dit qu'une suite (Un)n≥1 converge vers l au sens de Césaro si et seulement si:
limn+ (U1+...+Un)/n = l

On suppose dans les questions 1 à 4 que un tend vers 0 (au sens usuel !).
Fixons ε > 0. D'après la définition de la limite au sens usuel, il existe un entier N(ε) ≥ 2 tel que:
n N(), |Un| /2

1 - Montrer alors que:
n N(), |(UN() +...+ Un)/n| /2

2 - Montrer l'existence d'un entier M(ε) tel que:
n M(), |(U1 +...+ UN()-1)/n| /2
(On profitera du fait que ε, et donc aussi N(ε), est fix´e !)

3 - Trouver un entier K(ε) pour lequel:
n K(), |(U1+...+Un)/n|

4 - Que peut-on en conclure ?

5 - Déduire de 4 que, plus généralement, pour tout réel l, si un tend vers l au sens usuel, alors Un converge vers l au sens de Césaro.

6 - Trouver un exemple de suite qui converge vers 0 au sens de Césaro mais pas au sens usuel.

Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,

1 - Montrer alors que:
n N(), |(U1 +...+ Un)/n| /2

Je pense que tu doit être de langue étrangère vu que en Français, "Montrer que 5" et plus généralement "montrer un nombre", ben ça veut rien dire du tout (et |(U1 +...+ Un)/n|/2, c'est un nombre réel)
Si tu maitrise mieux l'anglais, formule ton truc en anglais : au moins on comprendra ce que ça veut dire.