Suite récurrente d'ordre 2 apparemment parfois convergente

[MClerc]

Bonjour,
Pour des problèmes d'optimisation itérative je définis des suites ainsi :

x(1)=a
x(2)=b
x(n)=x(n-1)*x(n-2)/(x(n-1)+x(n-2))

Pour certaines « mauvaises » valeurs (a,b), comme (-10,20), à partir d'un rang n on a (x(n-1)+x(n-2))=0 et, donc, x(n) est infini.

Mais pour d'autres, par exemple (-10,9), la suite semble comverger vers zéro.
D'où deux questions :
1) Comment caractériser les « mauvais » couples de valeurs ?
2) Pour les « bons », s'il y a vraiment convergence, comment le prouver ?

Merci d'avance pour toute suggestion.

[Rdvn]

Bonjour,
Je ne sais pas si ça va loin,
mais on peut observer que tant que les réels sont définis et non nuls :

1/x(n) = 1/x(n-1) + 1/x(n-2)

( suite "classique" pour u(n) = 1/x(n) )

Je laisse la main aux autres membres du forum,
pour cause d'emploi du temps personnel surchargé
Bon courage à tous

[MClerc]

Merci, la suite u(n)=1/x(n) est bien plus sympathique.

On a u(n)=lambda*phi^n + mu*psi^n
où phi=(1+sqrt(5))/2 (le fameux nombre d'or)
et psi=(1-sqrt(5))/2
Du coup on déduit que abs(u(n)) tend exponentiellement vers l'infini, sauf pour a=b=0.