Suite périodique, pgcd et ppcm

[Al-Kashi]

Solution 2.

Pour cette méthode, je vais utiliser le résultat du premier lemme de la solution 1 (voir plus haut).

La suite est décroissante donc pour tout , .
Or, par définition, d'où , .

Ainsi, la suite d'entiers est bornée et donc ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs.

On pose , et soit le reste de la division euclidienne de par .

Pour tout entier , , donc , ainsi .

De plus,



Ainsi, le couple détermine de manière unique .

Puisque le nombre de couples possibles est fini, la suite de couples est périodique, en particulier la suite .

NB: l'exercice est un vrai casse-tête .