Pgcd et ppcm

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je galère à prouver quelques propriétés élémentaires:

Soient deux entiers positifs non nuls, on définit leurs diviseurs communs et leurs multiples communs:





leur pgcd et leur ppcm:



.

Comment montrer que

Pour tout ,

Pour tout .

Merci pour votre aide.

[raito123]

pgcd(p,q)=d => il y au moins un U et V dans Z² tel que pU+qV=d

x|p et x|q donc x|pU et x|qV donc x|pU+qV alors x|d donc x|pgcd(p,q)

[legeniedesalpages]

ah oui c'est vrai qu'on peut y aller à coup de Bezout pour le pgcd, et pour le ppcm tu as une idée?

[alavacommejetepousse]

bonsoir

l'ensemble des multiples (relatifs)de p est le sous groupe engendré par p

l'ensemble des multiples communs de p et q est l'intersection des deux sous groupes c'est un sous groupe donc monogène et le ppcm est le générateur positif(plus petit élément positif strictement également ) d'où le résultat manquant.

[legeniedesalpages]

bonsoir

l'ensemble des multiples (relatifs)de p est le sous groupe engendré par p

l'ensemble des multiples communs de p et q est l'intersection des deux sous groupes c'est un sous groupe donc monogène et le ppcm est le générateur positif(plus petit élément positif strictement également ) d'où le résultat manquant.

ok mais en fait je me posais cette question, justement dans le but de montrer après que .

J'ai montré que , mais pour l'autre inclusion je ne vois pas.

[alavacommejetepousse]

en notant m le générateur positif de l'intersection
on a m multiple commun de p et q donc supérieur à ppcm

et comme ppcm est dans l'intersection, ppcm est un multiple de m donc m = ppcm.