PGCD PPCM dans un monoide commutatif régulier

[Anonyme]

Bonjour,

j'ai la question suivante :

soit (M,.) un monoide commutatif régulier, a et b deux éléments de M. Montrer que si (a,b) admet un PPCM (resp. un PGCD) alors (a,b) admettent un PGCD (resp. un PPCM).

Je ne suis pas sûr que le deuxième "sens" (celui en resp.) marche mais je ne trouve pas de contre-exemple dans un monoide à la fois commutatif et régulier.

Merci de votre aide

[yos]

Bonjour,

Supposons que (a,b) a un PPCM m.
m=ka=lb
ab est un multiple de a et b donc m divise ab :
ab=md.
On va prouver que d est un pgcd de (a,b) :

1) ab=kad, donc b=kd, donc d divise b; de même d divise a.

2) Soit D un diviseur de a et de b :
a=Du et b=Dv, donc Duv est un multiple de a et de b, donc de m;
donc md divise Duvd,
donc ab divise Duvd,
donc D²uv divise Duvd,
donc D divise d.

On a fini! (Je pense que le pgcd n'est pas unique??)
Pour la réciproque, j'y réfléchirai.

A quoi ça sert des structures aussi pauvres que des monoïdes réguliers commutatifs???

[Galt]

A quoi ça sert ?
est un brave monoïde régulier commutatif, le pauvre ...

[Anonyme]

Monoïde régulier commutatif : à quoi ça sert ? à pas grand chose d'après ce que je comprends mais apparemment les profs de fac veulent nous expliquer l'algèbre de la façon la plus générale possible en commencant avec les structures algébriques les plus simples : je n'ai jamais eu l'occasion de faire beaucoup de maths avant et je suis une licence en cours du soir.

Merci