Suite et intégrale

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

En révisant les intégrales et les suites, j'ai voulu refaire un exercice que j'ai eu en colle il y a un bon moment. Le problème, c'est que je me rappelle plus exactement comment j'ai résolu cet exo, du coup j'aurai bien besoin d'aide svp.

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On considère une fonction continue f de [0,1] dans et on pose pour n>0 :



Il faut déterminer la limite de cette suite

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Tout ce que je me rappelle est d'introduire une intégrale à paramètre, et je crois bien que c'est :
pour x réel positif




et une étude des intégrales à paramètre permet de montrer que cette fonction en x>=0 est C^1 sur R+, mais ça m'a pas trop aidé finalement. Et je ne suis même pas sûr que c'était par cette voie-là que j'ai réussi à aboutir.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[zygomatique]

salut

f est continue dans R* donc elle garde un signe constant ...

quitte à prendre son opposé on peut la supposer positive ....

puisque [0, 1] est compact on en déduit que m < f(t) < M

alors



ouais bof ...

[jlb]

Bonjour ou bonsoir,

pour x réel positif




et une étude des intégrales à paramètre permet de montrer que cette fonction en x>=0 est C^1 sur R+, mais ça m'a pas trop aidé finalement. Et je ne suis même pas sûr que c'était par cette voie-là que j'ai réussi à aboutir.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

C'est ça, tu dérives cette fonction ( à justifier) , tu regardes la valeur en 0 et tu peux ensuite obtenir ta limite avec un dl exp(intde0à1 log(f(t))dt) je crois, à vérifier

[Ben314]

Salut,
Sinon, ça peut aussi se faire "complètement à la main" : si on note M le max de f (qui existe est est atteint vu que f est continu sur le segment [0,1]) alors il est trivial que Un<=M pour tout n et, dans l'autre sens, en fixant epsilon>0 et en considérant un petit intervalle sur lequel f(x)>=M-epsilon, on montre qu'à partir d'un certain rang N, on a Un>=M-epsilon (ça provient du fait que, pour n'importe quelle constante K>0, K^(1/n) tend vers 1)

[Pythales]

Bonjour ou bonsoir,

En révisant les intégrales et les suites, j'ai voulu refaire un exercice que j'ai eu en colle il y a un bon moment. Le problème, c'est que je me rappelle plus exactement comment j'ai résolu cet exo, du coup j'aurai bien besoin d'aide svp.

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On considère une fonction continue f de [0,1] dans et on pose pour n>0 :



Il faut déterminer la limite de cette suite

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Tout ce que je me rappelle est d'introduire une intégrale à paramètre, et je crois bien que c'est :
pour x réel positif




et une étude des intégrales à paramètre permet de montrer que cette fonction en x>=0 est C^1 sur R+, mais ça m'a pas trop aidé finalement. Et je ne suis même pas sûr que c'était par cette voie-là que j'ai réussi à aboutir.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

étant continue sur il existe tel que .
Par ailleurs, pour il existe un intervalle tel que sur cet intervalle
D'où , ce qui montre que lorsque

Ben314, je n'avais pas vu ta réponse lorsque j'ai répondu...

[jonses]

Merci pour vos réponses !

@ Ben314 et @ Pythales

Vos méthodes marchent pour la suite :




mais pas pour


A cette colle j'avais ces deux suites à étudier, la première étant plus facile car c'est un classique de sup en prépa, en revanche la deuxième m'a posé beaucoup de difficulté, le colleur m'a énormément guidé.


@ jlb

la justification du caractère C1 de l'intégrale à paramètre est faite (ça je l'ai fait), et je crois bien que ce tu proposes ensuite est ce qu'il faut faire. J'ai pas encore essayé, je vais le faire un peu plus tard.

[Doraki]

(je suppose f > 0 sur [0;1])

A mon avis on a du te faire montrer que la fonction est dérivable et que sa dérivée en 0 est .

g(0)=1, et donc quand x tend vers 0,

Donc tend vers g'(0), et donc l'exponentielle de tout ça tend vers exp(g'(0)).

[jonses]

@ Doraki

Merci, j'avais oublié qu'il fallait regarder en 0 la dérivée, c'est pour ça que j'étais bloqué.