Suite géométrique

[totolivier]

j'aimerais montrer que p^n diverge si a complexe de module égale à 1, avec p différent de 1.

tout ce que j'ai trouvé, c'est mettre a sous la forme (cos O+i sin O), de dire que:
cos (n+1)O=cos nO cos O -sin nO sin O
sin (n+1) O=sin nO cos O + cos nO sin O

puis on suppose par l'absurde que cos n O cv verrs a et sin n O cv vers b

on obtient a cos O - b sin O=a et b cos O +a sin O =b

on tire la conclusion que c possible que si O=0 ou a=0 et b=0

or p^n de module tjs égale à 1, p^n ne peut pas converger vers 0


je trouve un peu lourd comme démo...Si qqn a une autre solution plus élégante, je suis preneur

[mathelot]

bjr,
j'espère qu'une bonne âme va te dépanner. quelques infos:

On considère un réel x,
la suite
le cercle unité

1er cas: x= 0 (z_n) constante égale à 1.

2ème cas:

x est commensurable avec ,ie, x est une fraction de . par exemple,
alors la suite est cyclique et ses valeurs sont les affixes d'un triangle
équilatéral (dans le cas général, d'un polygone régulier dont les sommets sont sur le cercle trigo). La suite (z_n) tourne en visitant chaque sommet, car



la suite est divergente avc un nombre fini de valeurs d'adhérence.

3ème cas: x est incommensurable avec
par exemple,
alors la suite (z_n) est dense sur le cercle unité, c'est à dire que tout arc du cercle unité de longueur non nulle , contient une infinité de points de la suite. Evidemment, la suite est divergente, dans ce cas.

[yos]

Si e^{int} converge, sa limite L vérifie donc .

[totolivier]

hum, c'est beaucoup plus simple :) merci