Suite de fonction et limite d'integrale.

[Mikihisa]

Bonjour a vous, lecteur !

Voici mon problème :
Soit f : [0;1] -> R une application continue par morceaux, continue en 0, trouver une suite de fonctions en escalier telle que :



Voilà je pensais a un truc du genre gn(x) qui tend vers f(0)/f(x) ( par exemple avec une subdivision x0, ..., xn on aurait g_n(x) = f(0)/f() pour tout x dans ]x_i-1; x_i[ )

Mais bon même si on prend les tels que 0 on a un problème si f est constamment égalé à 0 sur un intervalle

Enfin bref je pense que c'est une mauvaise direction, vous pourriez l'aiguille à dans la bonne direction siouplait ??
Bien cordialement !

[L.A.]

Bonjour.

C'est une mauvaise direction en effet, trop compliquée, et de toute façon, je pense qu'il est sous-entendu que la suite g_n ne dépend pas de f, autrement dit fonctionne pour TOUT f.

Si tu utilise une fonction g_n constante sur un intervalle [0,epsilon] et nulle ailleurs, alors l'intégrale correspond à un taux de variation de la primitive F de f entre 0 et epsilon. En faisant tendre epsilon vers 0 tu retombes sur F'(0)=f(0).

C'est l'idée générale, à toi de faire le détail maintenant :zen: ...

[lionel52]

Tente : gn(x) = n sur [0,1/n] et gn(x) = 0 sur ]1/n ; 1]

J'ai mis la réponse en blanc xd si tu veux pas l'avoir directement

[Mikihisa]

En décomposant int sur [0;1/n] + int sur [1/n;0] le membre de droite vaut 0 et le membre de gauche c'est lim (F(0+1/n) - F(0))/(1/n) = F'(0) = f(0)

Pas mal j'aurais jamais trouver tout seul xD

Merci en tous cas, je penserais a cette technique la prochaine fois :D

[lionel52]

C'est plus naturel d'utiliser le théoreme de convergence dominée pour le passage à la limite plutôt que l'utilisation de primitive je pense ^^

[L.A.]

C'est plus naturel d'utiliser le théoreme de convergence dominée pour le passage à la limite plutôt que l'utilisation de primitive je pense ^^

Honnêtement, je ne pense pas... On est dans le cadre du théorème "fondamental" de l'analyse, niveau terminale, pas besoin de chercher plus loin.

[arnaud32]

C'est plus naturel d'utiliser le théoreme de convergence dominée pour le passage à la limite plutôt que l'utilisation de primitive je pense ^^

ca tend simplement vers une fonction qui n'est pas definie en 0 deja, en plus par quoi vas tu la dominer?

[L.A.]

Oui, qui plus est, si g_n est pris sur ]0,1/n[ ouvert, on a convergence simple vers 0 partout, ce qui montre que la suite n'est pas dominée par une fonction intégrable et que le TCD ne s'applique pas (la domination la plus intuitive est en cste/x, non intégrable).

[Mikihisa]

Bah avec le fameux théorème fondamentale il faut juste signifier que comme f est continue en 0 on peu trouver un intervalle [0;1/n] ou f est continue pour n assez grand non ? Ok se compliquer la vie :D

[L.A.]

Bah avec le fameux théorème fondamentale il faut juste signifier que comme f est continue en 0 on peu trouver un intervalle [0;1/n] ou f est continue pour n assez grand non ? Ok se compliquer la vie

Il faut être un petit peu plus précis, f est continue en 0 mais pourrait être discontinue en tout autre point. Ici f est continue par morceaux ET continue en 0 (0 n'est pas un des "rares" points de discontinuité de f) donc continue sur un intervalle ouvert autour de 0.

Sinon oui, c'est tout.

[Ben314]

Salut,
Et si on prend pour tout , ça donne quoi ?

[Mikihisa]

Si jamais quelqu'un repasse par la pour éviter de poster un nouveau sujet j'ai un tarée exercice qui me pose un soucis :
f continue St. croissante de [a;b] -> [] et g sa fonction réciproque.
Montrer

En fait avec un p'tit changement de variable x = f(t) c'est très simple mais le problème c'est que en faisant ça on suppose que f est dérivable or rien ne précise dans l'enlacer qu'elle l'est :s du coup je me demandais si t'avais un autre moyen ou si c'était implicite ??

[Ben314]

Salut,
Je veut bien essayer de te trouver une preuve "purement calculatoire", mais sinon, ton truc est géométriquement parlant totalement évident modulo d'avoir compris que f et g c'est exactement la même courbe qu'on lit soit dans le sens x->y soit dans le sens y->x.
Fait un (beau) dessin et hachure les deux intégrales demandées.

Sinon, par le calcul :

1) Si on suppose de classe , on peut faire le changement de variable (on ne peut plus naturel...) dans puis tu fait une intégration par parties.

2) Sinon, si on suppose uniquement f continue, pour tout , on pose
où et sont des primitives de et .
est dérivable comme composée de fonctions dérivables et, pour tout ,

Donc et, comme , c'est que

[Mikihisa]

Oui mais tu utilise f'(t) dans ton histoire, ce qui suppose que f est dérivable, pourtant la propriété est bien vrai meme si f n'est pas dérivable non ?

Genre si on prend une fonction du style f(x)=x+1 si x<0 et f(x)=3x+1 si x>0

[Ben314]

Oui mais tu utilise f'(t) dans ton histoire, ce qui suppose que f est dérivable, pourtant la propriété est bien vrai meme si f n'est pas dérivable non ?

Genre si on prend une fonction du style f(x)=x+1 si x0

Effectivement : j'ai pas fait gaffe qu'il fallait suppose f dérivable aussi dans le 2em cas.

De toute façon, c'est quand même une figure qui est de loin le plus concluant... :zen:

[Ben314]

Au pire, si on veut vraiment utiliser le moins de truc possibles, on revient à la définition géométrique d'une intégrale avec des rectangles :
On prend une subdivision de et on pose
Vu que f est croissante, on a et, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, l'encadrement tend vers une égalité.

Sauf que est une subdivision de et on a donc, vu que g est croissante,

et.. c'est à peu prés fini... (en comparant le terme de droite de la première inégalité au terme de gauche de a seconde et vice versa : (re)fait un dessin pour visualiser...)

[Mikihisa]

Et c'est repartie pour de la chirurgie subdivisionale lol
Non ça va je vois a peu près ou le calcul nous mène !

Merci encore ! Je reprend les maths a la rentrer donc j'essaie de m'y remettre mais je me rend compte que c'est pas évident en auto-didactes :s quand on est bloquer One est bloquer quoi xD

[Ben314]

Et c'est repartie pour de la chirurgie subdivisionale lol
Non ça va je vois a peu près ou le calcul nous mène !

Merci encore ! Je reprend les maths a la rentrer donc j'essaie de m'y remettre mais je me rend compte que c'est pas évident en auto-didactes :s quand on est bloquer One est bloquer quoi xD

Je pense que le forum est très bien pour toi dans ce cas.... :zen: