Suite extraite

[mehdi-128]

Bonsoir,

Dans une démo dans mon livre je lis :
Soit
Comme la suite extraite converge vers l :


Y a pas une coquille ?

[Landstockman]

Effectivement, il faudrait :

[mehdi-128]

Effectivement, il faudrait :

Merci mais ça me perturbe car pour une suite la définition est :



Pourquoi on mettrait pas :

?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est l'art de poser des questions extravagantes. On pourrait l'écrire ainsi, mais on n'a pas besoin. Si la proposition avec est vraie, alors elle est vraie aussi pour (avec un 2 fois plus grand, mais aucune importance).

Ce qui compte pour que la suite extraite tende vers , c'est d'avoir pour pair (donc on écrit pour le signifier) et suffisamment grand.

[mehdi-128]

D'accord Pseuda. Pourriez vous me dire si cette démo est juste ?

Je veux démontrer que :

Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Soit fixé.
converge vers l :


converge vers l :


Posons :

Soit tel que :
Si p est plus grand que alors et

Si p est pair :

Alors :
Donc :

Si p est impair :

Alors :
Donc :

Dans tous les cas :


Ceci est valable pour tout entier p car on a fixé .

[Pseuda]

Bonjour,

Cela me paraît correct. Je ne vois pas d'erreur en tout cas.

[LB2]

Voici un petit exercice pour compléter :

On se donne une suite réelle . On suppose que les suites sont convergentes.

Montrer que est convergente

Indication : Attention, on ne suppose pas a priori que ont même limite...

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses. LB2 j'essaie de faire votre exercice :

Soit fixé.

converge vers :


converge vers :


converge vers :


Je voulais utiliser le principe de la démo mais y a 3 limites différentes... J'avoue sécher un peu là.

[LB2]

Bon début, tu as écrit les hypothèses. Maintenant il faut réfléchir. Pense à la démonstration de l'unicité de la limite d'une suite. Que se passe-t-il pour N assez grand?

[Ben314]

Je veux démontrer que :
Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Juste une question : à ton avis, la suite est ou n'est pas une suite extraite de la suite ?
Qu'en déduit tu concernant ton énoncé ?

[mehdi-128]

Je veux démontrer que :
Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Juste une question : à ton avis, la suite est ou n'est pas une suite extraite de la suite ?
Qu'en déduit tu concernant ton énoncé ?

est une suite extraite de

En effet, l'application est bien une application strictement croissante de dans et on a bien pour tout entier positif :

J'en déduis qu'il faudrait préciser :

"Toute suite extraite différente de tend vers " car sinon on aurait déjà le résultat.

[Ben314]

Je suis pas franchement sûr que ça soit franchement mieux comme énoncé.
A ton avis, la suite est-elle ou n'est-elle pas une suite extraite de la suite ?

[mehdi-128]

Bon début, tu as écrit les hypothèses. Maintenant il faut réfléchir. Pense à la démonstration de l'unicité de la limite d'une suite. Que se passe-t-il pour N assez grand?

Elle utilise l'inégalité triangulaire en partant de :



Pour n assez grand, les 3 sous suites convergent.

Mon problème est si je veux partir de :

je ne sais rien sur la limite l de la suite

[mehdi-128]

Je suis pas franchement sûr que ça soit franchement mieux comme énoncé.
A ton avis, la suite est-elle ou n'est-elle pas une suite extraite de la suite ?

Je viens de corriger la grosse bourde que j'avais écrite.

Oui est une suite extraite on choisis l'application strictement croissante :

[mehdi-128]

@LB2 un petit indice pour votre exo ?

[mehdi-128]

@Ben

La propriété que j'ai mise provient de mon livre de MPSI donc pourriez vous me dire ce qui est faux ?


Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

[LB2]

@LB2 un petit indice pour votre exo ?

essaie de te ramener à une situation résolue, en démontrant que u(2n) et u(2n+1) ont une limite commune

[Landstockman]

@Ben

La propriété que j'ai mise provient de mon livre de MPSI donc pourriez vous me dire ce qui est faux ?


Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Ce que Ben veut te montrer c'est pas que c'est faux, c'est que le sens direct est immédiat :
Toute suite extraite de u tend vers l implique qu'en particulier la suite u tend vers l (tu viens de dire que c'est bien une suite extraite).

[mehdi-128]

@Ben

La propriété que j'ai mise provient de mon livre de MPSI donc pourriez vous me dire ce qui est faux ?


Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Ce que Ben veut te montrer c'est pas que c'est faux, c'est que le sens direct est immédiat :
Toute suite extraite de u tend vers l implique qu'en particulier la suite u tend vers l (tu viens de dire que c'est bien une suite extraite).

Il faudrait rajouter : "toute suite extraite de qui n'est pas égale à " ?

[pascal16]

il faudrait dire :
(0) : quand on regarde la limite d'une suite, on peut confondre la suite et la suite privée d'un nombre fini de termes.


"Toutes les suites extraites d'un ensemble de suites extraites dont les éléments réalisent un recouvrement des termes de Un" convergent vers une unique limite l <=> Un admet l pour limite.

cas pratique : si U2n et U2n+1 tendent vers l <=> Un tend vers l

On se rapproche ainsi de la notion de valeur d'adhérence d'un coté et du recouvrement de l'autre