Suite cosinus

[Fed]

On a

U(0) appartient à R
{
U(n+1) = cos (Un)

Prouver la convergence de (Un) et déterminer sa limite.

Je conçois que si (Un) est convergente, la limite l de la suite est telle que lim(n->$) U(n+1)=lim(n->$) Un c'est à dire l=f(l).

J'ai prouvé que cos(x)=x a une unique solution dans R appartenant à ]0,1]. Il me reste, avec votre aide, a prouver que (Un) converge bien vers la racine de cosx-x=0, qui reste à déterminer. Bien sûr, je ne veux pas la réponse, juste des pistes pouvant m'aider à établir la convergence de (Un).

Merci

[arnaud32]

deja tu sais que u(n) est dans ]-1,1[ pour n>0
tu peux prouver que pour n>N (tu dois trouver N) u(n) est dans]l-a,l+a[ pour 0

[Ericovitchi]

D'ailleurs si tu as un logiciel de géométrie qui sait tracer les suites, c'est assez amusant de voir que quelque soit l'endroit où se situe la valeur initiale, la suite converge toujours :

[Fed]

deja tu sais que u(n) est dans ]-1,1[ pour n>0
tu peux prouver que pour n>N (tu dois trouver N) u(n) est dans]l-a,l+a[ pour 0<a assez petit et dans cet intervalle tu peux montrer que cos est contractante

Oui mais comment exprimer l? et même si je trouve N=1 000 000 000 tel que 0.77777777<(un)<0.77777778 (nombres au hasard) je n'aurais pas prouvé pour autant que (Un) est convergente de limite l n'est-ce pas?

[Fed]

Ou peut-être exprimer a de l'intervalle ]l-a,l+a[ en fonction de n?

[arnaud32]

ou se trouve u(1)? u(2)? u(3)?

[Ericovitchi]

Déjà, tu es sûr qu'au premier coup la suite va se retrouver entre -1 et +1.

Après tu sais que s'il y a une limite elle doit respecter L=cos L

Donc après montre que |un-L| décroit. Par récurrence par exemple.

[Fed]

Hum oui il faut montrer que Un+1|cos(x-L)|? mais pour x=L on a 0>1, pas possible...Je grifonne je grifonne mais là j'avoue que je me perds dans mes gribouillages...
J'essaie de jouer avec la décroissance de x:-> cosx sur ]0,1] qui donne cos(x-L) croissante jusqu'à x=L puis décroissante jusqu'à 1. Cela pourrait me donner quelque chose en vertu d'une proposition selon laquelle si Un+1 = f(Un) , f croissante et U1

[arnaud32]

a partir de u(3) tu es dans[cos(1) ,cos(cos(1))] qui est inclu dans [0.5,0.9]
et tu as cos(x)-cos(y) = -2Sin((x-y)/2)Sin((x+y)/2) etc ...

[Fed]

Arnaud : U1 se trouve n'importe où dans (0,1], mais si U1L, U3
(Un) converge vers L à la maniere de cos(x+a)/x vers 0 par exemple, c'est pourquoi j'ai envisagé d'encadrer (Un) par 2 fonctions tendant vers L mais je bloque...

[arnaud32]

cos(x)-cos(y) = -2Sin((x-y)/2)Sin((x+y)/2) donc
or et sur [0,1]

et dans [0,1] sin esst croissante et positive et tu as
tu as donc une fonction contractante ...

[Fed]

Oui je pense saisir. Le tout est de bien connaître ses formules de trigo. Je vais mediter ceci.

[Fed]

Peux-tu juste m'expliquer comment tu déduis d'une égalité entre 2 expressions une inégalité en passant à la valeur absolue?

[arnaud32]

si a=b alors |a|=|b| et alors tu as aussi