Suite complexe

[morfal666]

bonjour je suis en prépa math, j'ai un exo:
étudier la suite complexe: Z(n+1)=(Z(n)+|Z(n)|)/2

j'ai décomposer en deux suite, U(n)=Re(Z(n)), V(n)=Im(Z(n))

j'ai trouver : V(n+1)=V(n)/2 <=> V(n)=V0 * (1/2)^n
et : U(n+1) = (U(n)+sqrt(U(n)^2 + V(n)^2))/2
<=> U(n+1) = (U(n)+sqrt(U(n)^2 + V0^2*(1/4)^n ))/2

je sais V(n) est convergente vers 0 et aussi: en calculant |Z(n+1)|:
|Z(n+1)|= |(Z(n)+|Z(n)|)|/2 < (|Z(n)|+|Z(n)|)/2 < |Z(n)|
on en déduis que |Z(n)| est décroissant et il est minoré donc convergent,
argument de Z(n) est soit 0 soit pi car c'est un nombre réel et son module est aussi convergent, on peut en déduire que U(n) doit êtr convergent,

je n'arrive pas à trouver la limite de U(n), pourriez vous m'éclairer, merci d'avance !

[leon1789]

Après avoir démontré que converge, on peut passer à la limite la relation de récurrence .
On arrive à L = |L|, donc...

[morfal666]

hé bien L est réel c'est ça ? j'avais compris avec le V(n) -> 0 mais ça me donne pas la valeur exacte de L..

[leon1789]

hé bien L est réel c'est ça ?

hum... plus que ça !

[leon1789]

ça me donne pas la valeur exacte de L..

qui te dit que L a UNE seule valeur ?

L = |L| implique L truc truc

et réciproque, si L truc truc alors on peut trouver un z_0 tel que z_n tende vers L.

[morfal666]

hum... plus que ça !

ouai c'est un réel POSSITIF quoi

mais en faite ce que je cherche c'est exprimer L en fonction de Z0 enfin plutot en fonction de sa partie imaginaire et de sa partie réel

[yos]

Bonsoir.
Si tu poses avec tu obtiens que est géométrique de raison 1/2 et .