Suite auxiliaire

[poussin]

bonsoir
comment construire une suite auxiliaire arithmetique pour i'etude d'une autre suite ni arithmetique ni geometrique
merci d avance

[Ben314]

Salut,
Tu aurais pas encore plus flou comme question des fois ?

Si tu donnais directement la suite que tu as a étudier, ça me semblerais... pas bète...
Parce que, des "suite auxiliaire arithmétiques", je connais pas mal de cas très différents ou on en utilise (introduites de façons différentes) et encore plus de cas où... on en utilise pas du tout...

[chan79]

bonsoir
comment construire une suite auxiliaire arithmetique pour i'etude d'une autre suite ni arithmetique ni geometrique
merci d avance

Salut
Le cas classique, c'est quand on a une suite du genre:
et (suite arithmético-géométrique)
On pose
et on cherche pour que soit géométrique, en calculant

On trouve , ce qui permet d'exprimer puis en fonction de .

[poussin]

bonjour Ben314
voila je pense par exemple a la suite u(n) definit par
u(0)= 2 et u(n+1)=(5u(n)-1)/(u(n)+3) pour tout entier n
et merci

[chan79]

bonjour Ben314
voila je pense par exemple a la suite u(n) definit par
u(0)= 2 et u(n+1)=(5u(n)-1)/(u(n)+3) pour tout entier n
et merci

pose et montre qu'elle est arithmétique

on met au dénominateur car 1 est la racine double de

[poussin]

bonsoir
merci je vois juste une question cette construction est elle valable seulement si l'equation f(x)=x admet une solution unique ?
merci

[Ben314]

Si on se limite aux suites définies par une formule du style où la fonction est de la forme alors, dans ce cas là, effectivement, on peut construire une suite arithmétique en partant de ssi l'équation admet une racine double (tu peut le montrer, ce n'est pas difficile).
Lorsque admet deux racines (simples), ce qui est le cas le plus fréquent, alors on peut construire une suite géométrique en partant de .

En fait, si ça t'intéresse, ce qu'il y a de "caché" derrière ça, c'est la notion d'homographie de la droite projective et/ou un peu d'algèbre linéaire.