STATISTIQUES corrélation non linéaire

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Didi
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STATISTIQUES corrélation non linéaire

par Didi » 12 Oct 2018, 16:35

Bonjour,

Je viens d'avoir un cours de statistiques sur les corrélations à partir de nuages de points. Mon professeur ne propose aucun exercice, et son cours est purement algébrique, sans exemple numérique. Je pense avoir compris l'idée des corrélations linéaires..en revanche, je suis complètement perdue avec les corrélations non linéaires exponentielles et de puissances.
Serait-il possible que quelqu'un me propose un application concrète avec des valeurs numériques, avec un exemple dans le cas où le coefficient de corrélation r=0 et un autre où r=-1 ?

Normalement j'ai toutes les formules à disposition: celle des moyennes de x et y, celles des équations des droites d'ajustement vertical et horizontal, celle de la covariance, et de l'écart type etc..et je sais qu'il y a un changement de variable du y en log y dans le cas de l'exponentielle..

J'ai juste besoin d'y voir plus clair avec des exemples numériques concret...

Je pense que j'en demande beaucoup trop, mais merci d'avance pour votre aide,



LB2
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Re: STATISTIQUES corrélation non linéaire

par LB2 » 13 Oct 2018, 02:38

Bonjour,

c'est sûr que le sujet est vaste...

déjà, essaie de bien comprendre en théorie ET en pratique la corrélation linéaire de deux variables.
Puis le principe de régression linéaire, selon la méthode des moindres carrés ordinaires.

Ensuite, l'idée est de se ramener à un problème de régression/corrélation linéaire, via un changement de variables.

Je prends un exemple. On mesure une grandeur en fonction du temps qui semble évoluer de façon exponentielle. On cherche donc un AJUSTEMENT à une fonction exponentielle, c.a.d. une formule du type y(t)=a*exp(bt), par exemple, ou l'on choisit a et b de telle façons que la courbe théorique se rapproche au mieux des données expérimentales (au sens des moindres carrés)

Dans ce cas, deux choix :

- soit on cherche un ajustement exponentiel sous cette forme entre y et t.
- soit on effectue un changement de variable pour se ramener à une fonction linéaire. On poserait donc ici z=ln(y), et on chercherait un ajustement du type z=c*t+d. Ce qui revient à calculer la nouvelle variable z=ln(y) et de chercher une corrélation linéaire entre z et t.

A quel niveau es-tu?
On peut parler du modèle linéaire des moindres carrés (dit gaussien) à haut niveau théorique, mais si tu cherches une compréhension pratique, tu peux te contenter d'un cours niveau L1 voir Terminale.

Si tu veux approfondir le sujet, tu peux consulter entre autres ces liens :
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/StatTGM.pdf
http://www.ecst.net/documents/Cours/KER ... tiques.pdf

Didi
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Re: STATISTIQUES corrélation non linéaire

par Didi » 15 Oct 2018, 22:44

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je pense avoir bien compris en théorie et pratique la corrélation linéaire à deux variables.

Avec votre aide et en ayant fait des recherches je comprends un peu mieux le concept de corrélation non linéaire..cependant, je ne parviens pas à faire d'application directe.
Je m'explique, j'ai un exercice à faire avec les consignes suivantes:

" Faire 3 nuages afin d'obtenir un coefficient de corrélation r=1, r=0 et r= -1 à partir de corrélation linéaire, de puissance et exponentielle.
-Etudier à chaque fois 4 points d'un nuage ( fait par nous même)
- calculer et tracer la droite d'ajustement vertical
- calculer et tracer la droite d'ajustement horizontal
- calculer et placer le point moyen "

Je suis parvenue à faire le cas de la corrélation linéaire où r=1. En revanche, j'ai tenté plusieurs fois de faire le cas de l'exponentielle et je suis bloquée.
Premièrement, je ne sais pas quelle échelle/ valeurs prendre pour mon graphique afin que l'exercice soit faisable. Etant donné que je dois utiliser des log pour le calcul des yi, je fini avec des résultats très petits, amenant à des coefficients directeurs de droite impossible à tracer par exemple. Après, même en faisant abstraction de cela, lorsque je calcule ma deuxième équation d'ajustement horizontal, je retombe sur le résultat de la droite d'ajustement vertical, et j'ai donc un coefficient de corrélation se rapprochant de 1... Je ne vois pas comment je peux faire en sorte qu'il soit égal à 0 ou -1...

Je suis en étude supérieure Bac+2.

Merci d'avance pour votre aide,

LB2
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Re: STATISTIQUES corrélation non linéaire

par LB2 » 16 Oct 2018, 14:26

Parler de "corrélation exponentiel" ou de "corrélation logarithmique" est un léger abus de langage, il vaudrait mieux parler "d'ajustement à une exponentielle" ou "d'ajustement à un logarithme".

Tu sais donc qu'il est possible pour deux variables de n'être pas du tout corrélée linéairement, et pourtant d'être liées . Par exemple, n'importe quelle variable X, et son carré Y=X^2.

Si tu prends un nuage de points répartis EXACTEMENT comme une exponentielle, tu trouveras une corrélation exponentielle de 1. Il faut réviser les fonctions exponentielles (niveau Terminale S).

Pour qu'il soit égal à -1, j'imagine qu'il faut une exponentielle négative.

Et pour une corrélation nulle, je te laisse chercher...

Tout cela en les vraies variables (xi et yi) bien sûr.

En revanche si tu considères zi=log(yi), et qu'il y a une relation exponentielle entre yi et xi, c.a.d. par exemple yi=exp(xi) alors il y a une relation linéaire entre zi et xi.

Didi
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Re: STATISTIQUES corrélation non linéaire

par Didi » 16 Oct 2018, 16:56

Bonjour,

Je viens de tester l'ajustement à une exponentielle dans le cas d'une exponentielle négative. Dans mon exemple, j'ai pris les valeurs suivantes: A( 0,5) B (1,3) C(3,1) et D (6 , 0.5) . En effet j'ai trouvé un coefficient de corrélation tendant vers -1! Est-ce que comme dans le cas de la corrélation linéaire, il est normal que j'ai mes deux droites d'ajustements qui soient confondues? si ce n'est qu'ici, elles ne passent même pas par le point moyen ..?? D'ailleurs, peut être que pour placer le point moyen,dans ce cas ci, il faut convertir le résultat de la moyenne des logarithmes de y sous la forme 10 exp(...) ?

Sinon, je pense avoir trouvé la solution pour obtenir une corrélation nulle: il faut utiliser une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Pour cette exemple ci, j'ai choisi les points A (-2,4) B (-1,1) C(1,1) D(2,4). Du coup, je suppose que la corrélation nulle ne peut se rencontrer que dans le cas de corrélation linéaire, puisque ayant des valeurs négatives, je ne peux pas utiliser les log comme dans les ajustements à exponentielles et de puissances? Et une fois de plus, mes deux droites d'ajustement sont confondues..
Je ne comprends pas pourquoi à chaque fois, mes deux équations sont similaires qu'importe le coefficient de corrélation..

Merci pour votre aide en tout cas!

pascal16
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Re: STATISTIQUES corrélation non linéaire

par pascal16 » 16 Oct 2018, 20:32

liste de points (x,y)
-> transformation y-> ln(y)
-> régression linéaire ln(y)= ax+b
-> la droite trouvée passe par le point milieu
-> y=cst*exp(ax) et je peux si je veux donner les coordonnées du point milieu (exp(yo); xo) équivalent trouvé en régression linéaire.


si tu as des point équirépartis sur un cercle, le point milieu est le centre du cercle, il n'est pas du tout sur le cercle. La courbure de l'exponentielle fait que son "centre de gravité" n'est pas sur la courbe.

 

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