Stable

[zork]

bonjour,

soit E un Kev
u dans L(E). F un sev de E

1)montrer que si F est stable par u alors est stable par

est ce qu'on est dans le dual ici parce que n'est définie que dans le dual

merci

[Doraki]

Et c'est quoi "F+" ?

[Manny06]

Et c'est quoi "F+" ?

je suppose que c'est le SEV orthogonal

[Skullkid]

Bonjour, oui la plupart des objets manipulés dans ton énoncé ont un rapport avec le dual de E (l'orthogonal de F est un sous-espace de E* et la transposée de u est un endomorphisme de E*). Après il suffit d'écrire les définitions.

[zork]

mais dans mon cours l'orthogonal de f est A° et non
A°={f dans E*;f(x)=0 pour tout x dans A}
{x dans E, =0 pour tout y dans A}

la définition n'est pas la même pour les 2 orthogonal et c'est A° qui est sev de E* pas ?

[Skullkid]

Il y a sans doute un quiproquo sur les notations (personnellement je n'avais jamais rencontré ta notation avant, je ne connais que et ).

Quoi qu'il en soit, ici l'énoncé parle d'un espace vectoriel E quelconque, en particulier il n'y a pas de produit scalaire dessus, donc si x et y sont deux éléments de E, l'écriture que tu utilises dans ta définition de n'a pas de sens. Ce qui a un sens c'est avec x un élément de E et f un élément de E*.

Il est possible que l'énoncé n'ait pas les mêmes notations que ton cours, mais ici, comme il n'y a pas de produit scalaire, la seule façon d'interpréter ce est . De plus, si u est un endomorphisme de E, est un endomorphisme de E*, donc ça n'aurait pas de sens d'étudier la stabilité d'un sous-espace de E par . Pour finir, avec cette interprétation, ce qu'on te demande de démontrer est vrai.

[zork]

c'est de cet orthogonale que l'on parle ici

[Skullkid]

Comme dit, si A est un sous-espace vectoriel E quelconque (sans produit scalaire), la seule interprétation possible de c'est l'ensemble des formes linéaires qui s'annulent sur A. Et, encore une fois, cette interprétation est tout à fait cohérente avec ton énoncé.

[zork]

soit x dans F
f(x)=0

après je dois composer par u pour avoir fou et ainsi mais comment faire et comment utiliser le fait que u(F) inclus dans F?

[Skullkid]

Ce type d'exercice est souvent simple en principe, il suffit de regarder ce que tu veux montrer, dérouler les définitions et faire des "traductions" successives :

"F° est stable par " ça veut dire "pour tout f appartenant à F°, appartient à F°". Donc la démonstration commence par "Soit f appartenant à F°". Ensuite, " appartient à F°" ça veut dire "pour tout x appartenant à F, ". Donc la démonstration continue par "Soit x appartenant à F". Ensuite, par définition, c'est quoi ?

[zork]

voici ce que j'ai fais,
soit f dans F° tel que f(x)=0 pour tout x dans f

or u(x) est dans F par hypothèse donc f(u(x))=0=
donc on a ce qu'on veut

[Skullkid]

La réaction peut être améliorée mais c'est bon.