Marche aléatoire : convergence vers un état stable

[Martaaa]

Bonjour,

je prépare le CAPES de mathématiques et n'ai pas trouvé, ni dans des livres ni sur internet, comment démontrer le théorème suivant :

" Si la matrice de transition d'une marche aléatoire admet une puissance dont tous les coefficients sont strictement positifs, alors :

* le processus admet un unique état stable S ;
* la suite (P_n) des états probabilistes converge vers l'état stable S et ceci, indépendamment de l'état initial P_0. "

Je n'ai pas de connaissances des chaînes de Markov, j'apprend sur le tas avec les bouquins de spécialité série S (et ES) cette notion nouvelle de marche aléatoire. Je me demandais s'il était possible de démontrer ce théorème en ayant uniquement les prérequis suivants :

Etant donnée une marche aléatoire ayant p états possibles (p entier naturel non nul) :

- définition d'un état probabiliste Pn (matrice ligne de dimensions 1*p dont chacune des composantes pi(n), avec i dans {1,...,p}, est la probabilité d'être dans l'état i à l'étape n);
- définition de la matrice de transition d'une marche aléatoire (matrice M carrée d'ordre p dont chacun des coefficient mij est la probabilité d'être dans l'état j sachant qu'à l'étape précédente on était dans l'état i);
- propriété : pour tout entier naturel n, P_(n+1)=Pn.M et donc Pn=P_0.(M^n) avec P_0 l'état initial de la marche aléatoire;
- définition d'un état stable (une marche aléatoire admet un état stable s'il existe une matrice ligne S de dimensions 1*p telle que S.M=S)
- propriétés et définitions de base à propos des matrices (somme, produit par un scalaire, définition de convergence d'une matrice ...).

Connaître déjà une démonstration de ce théorème pour une marche aléatoire ayant 2 états possibles serait déjà une bonne chose pour moi.

Merci d'avance pour vos réponses,

Martaaa.

[arnaud32]

avec
pour M ayant tous ses coefficients positifs

si tous les coeff sont strictement positifs, tu as
puis tu utilises ca
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante

[Matt_01]

Quelle est la norme utilisée sur les matrices ?
J'ai bien envie de dire que la fonction X -> X^k est lipschitzienne de constante < 1 pour un certain k, et donc par le théorème du point fixe on obtiendrait ce qu'on veut.

[adrien69]

Salut,
C'est un cas particulier de ça : http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Perron-Frobenius

La démo est longue mais simple.

[Martaaa]

Ok, merci bien.

[adrien69]

avec
pour M ayant tous ses coefficients positifs

si tous les coeff sont strictement positifs, tu as
puis tu utilises ca
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante

J'avais pas lu mais non, justement ! C'est une matrice stochastique, donc ton sup vaut 1 ce qui fait que l'application n'est pas contractante. Donc au pire on peut utiliser Brouwer ou Browder, au choix, mais on dit adieu à l'unicité et à la formule pour la convergence.

[arnaud32]

la matrice M est une matrice de transition,la somme de chaque ligne vaut 1 et tous les coeff sont strictement positifs ils sont donc tous strictement inferieurs a 1, et en nombre fini, donc le sup l'est aussi

[adrien69]

Depuis quand tous les coeffs sont strictement positifs ? À partir d'un certaine puissance oui. Mais pas avant. La norme que tu proposes est par contre multiplicative, donc on pourrait redescendre je te l'accorde. Mais là n'est pas le soucis.
Justement, ton qui est la norme de M que tu as donnée (et pas le sup sur l'ensemble des coefficients, que tu proposes par la suite) c'est le sup de la somme des coefficients de chaque ligne. Sauf que, et tu le dis toi-même, la somme desdits coefficients vaut toujours 1, pour tout i, puisque c'est une matrice stochastique.
En plus tu confonds. Là on cherche un vecteur propre de la transposée, pas de la matrice. Et elle n'est pas doublement stochastique. Donc c'est mort, on pourrait utiliser je te laisse voir que ton argument ne marcherait pas sur la transposée.

[arnaud32]

tu as raison

[Ben314]

Vous battez pas... :lol3:

D'un autre coté, les matrices sont évidement carrées (autant d'états à l'arrivé qu'au départ !!!) et comme le but est en fait de montrer que 1 (qui est forcément valeur propre) a un s.e.v. propre associé de dimension 1 et que les autres valeurs propres (réelles ou complexes) sont de module <1, on peut parfaitement raisonner sur la matrice ou sur sa transposée vu qu'elles ont les même valeurs propres avec la même multiplicité.

De même, raisonner comme si c'était M qui contenait des coeffs tous >0 ne change rien vu que les valeurs propres de M^n sont les valeur propres de M élevées à la puissance n avec le même ordre de multiplicité (qui éventuellement s'ajoutent si deux valeurs propres différentes ont la même puissance n-ième)

Sauf erreur, c'est la méthode élémentaire qu'on trouve un peu partout pour démontrer "à la main" le résultat.