Stabilité de sous espaces vectoriels par des endomorphismes symétriques

[Baby Dear]

Bonsoir,

J'ai deux endomorphismes v et u qui sont symètriques et qui commutent entre elles. Par ailleur, j'ai aussi un sous espace vectoriel F qui est stable par v. J'aimerai montrer que F est aussi stable par u mais la seule chose que j'ai reussi à montrer est que v(u(F)) est inclus dans u(F).....

Merci d'avance.

[ThSQ]

Tu voudrais montrer quoi ? Si 2 endo symétriques commutent tout espace stable de l'un est stable par l'autre ?
Ca me paraît faux : prends u = Id. Il commute avec tout le monde et laisse stable tout le monde (pas emm*d*nt le gars !).
Ca voudrait dire que tout endo symétrique laisse stable tout le monde ... bizarre :briques:

[abcd22]

Bonsoir,
Si deux endomorphismes commutent, le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre, on peut en déduire que les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre, mais un sous-espace stable par l'un n'est pas stable par l'autre en général comme l'a fait remarquer ThSQ.