Endomorphismes symétriques définis positifs et topologie

[phuor]

Bonjour,

j'ai des difficultés pour résoudre ce problème de topologie d'espace euclidien.

voici l'énoncé:

(E, < .;. >) un espace euclidien de dimension finie.

A endomorphisme de L(E) est dit symétrique si pour tout x et y de E; < A.x; y >=< x; A.y >.
A endomorphisme symétrique de L(E) est dit défini positif si pour tout x de E étoilé, < A.x; x > >0.
On note S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques et on note Sp(E) l'ensemble des
endomorphismes symétriques définis positifs de l'espace euclidien E.

Montrer que Sp(E) est un ouvert de S(E).


Merci de votre aide!

[Nightmare]

Hello,

dans un premier temps, sais-tu qu'elle est la topologie implicite sur E dans l'énoncé?

[phuor]

Salut,

J'ai recopié l'énoncé en entier.
Je crois que c'est la topologie d'un espace vectoriel euclidien, non?

La clé doit être dans la forme bilinéaire que je n'arrive pas encore à exploiter.

Merci

[Nightmare]

En général, les espaces usuels sont munis de topologies elles aussi usuelles dont les énoncés éludent leur nom.

C'est le cas dans notre énoncé, on parle de topologie (puisqu'on parle d'ouvert) mais à aucun moment on ne précise quelle est cette fameuse topologie. Cela sous-entend donc que la topologie à mettre est elle aussi naturelle. D'où la question que je te pose : Quelle est donc cette topologie implicite?

Tu parles de la topologie d'un espace euclidien, d'une part quelle est-elle et d'autre part, es-tu sûr qu'une telle topologie irait à L(E)? E est un espace Euclidien oui, mais quid de L(E)?