Sous suites dans un espace métrique

[Gogogo99]

Pouvez vous éclaircir cette phrase :

"dans un espace métrique, si de toute sous-suite, on peut extraire une sous-suite qui converge vers la même limite alors la suite converge"

[Gogogo99]

Je ne comprends pas cette réponse.

Pour moi,

On suppose une suite U_n quelconque.

"Si de toute sous suite U_n' de U_n , on peut extraite une sous-suite U_n'' qui converge vers une limite x alors U_n converge vers x."

Pourquoi?

[Ben314]

Salut,

"dans un espace métrique, si de toute sous-suite, on peut extraire une sous-suite qui converge vers la même limite alors la suite converge"

Moi, c'est surtout la question que je ne comprend pas.
Il semblerais bien qu'au départ on se donne une suite (Un) fixée (mais ça serait pas con de l'écrire).
Ensuite, on prend une sous suite quelconque de cette sous suite. Jusque là, ça va.
Puis on suppose que, de cette sous suite, on peut extraire une sous-sous-suite convergente Toujours O.K.
Sauf qu'il faut en plus que cette sous-sous suite soit convergente vers la même limite Et là, il me semble qu'il manque un tout petit peu un "la même limite que quoi ?"

Et j'ai beau réfléchir tant est plus (bon, O.K., ça fait pas des tonnes quand même... :zen:), je vois vraiment pas comment rectifier l'énoncé pour qu'il ait du sens :
- Soit la fin manquante est "... la même limite que la suite de départ" et c'est totalement débile vu que ça veut dire qu'on suppose que la suite de départ est convergente alors que c'est ça qu'on doit montrer.
- Soit la fin manquante est "... la même limite que la suite quelconque extraite" et c'est à la fois débile (on peut évidement extraire une sous suite convergente de cette sous suite convergente) et en plus, c'est pas clair : est ce que ça signife qu'on ne considère que des sous-suites convergentes de la suite de départ ou bien est-ce que ça signifie que toute sous-suites de la suite de départ est elle même convergente.

Quelqu'un peut-il éclairer mes lumières ?

[Gogogo99]

Vous avez raison , voici le résultat:

"U_n converge vers x si et seulement si de toute sous suite de U_n , on peut en extraire une sous-suite qui converge vers x."

Il me semble que ça peut se démontrer dans le cadre topologique général en prouvant le sens non trivial par contraposée

[Gogogo99]

Si U_n ne converge pas vers x , alors il existe un voisinage V de x tel que pour tout rang N, il existe un entier m plus grand que N avec U_m qui n'est pas dans U.
On peut donc construire une sous-suite qui n'est pas dans U.
Si on peut prendre une sous- suite ( de cette sous- suite) qui converge, alors sa limite ne peut pas être dans U.

[Ben314]

Si U_n ne converge pas vers x , alors il existe un voisinage V de x tel que pour tout rang N, il existe un entier m plus grand que N avec U_m qui n'est pas dans U.
On peut donc construire une sous-suite qui n'est pas dans U.
Si on peut prendre une sous- suite ( de cette sous- suite) qui converge, alors sa limite ne peut pas être dans U.

Ben oui, ça me semble parfaitement correct.
Le seul truc pas terrible, c'est "...construire une sous-suite qui n'est pas dans U" qui, au sens litéral signifie uniquement qu'il existe des termes de ta sous suite qui ne sont pas dans U alors que ce que tu veut traduire, c'est qu'aucun des termes de ta sous suite n'est dans U.
Donc je pense qu'il vaut mieux écrire "...construire une sous suite qui est dans le complémentaire de U".

Il faut sans doute aussi supposer que la topologie n'est pas trop "pourrie", par exemple séparée (i.e. )