Topologie: adhérence et limite dans un espace métrique

[Murene]

La question à suivre est en référence au polycopié de Francis Nier et Dragos Iftimie.

POLY DE NIER:

Proposition 1.4.8 - Adhérence pour le cas métrique
i) x dans adhérent de A
ii) il existe une suite (x_n) dans A dont est x limite

Remarque 1.4.9: pour i) => ii), on a besoin que tout point [j’aurais dit x] admette une base dénombrable de voisinage.

Proposition 1.4.14 - Limite de fonction pour le cas métrique
i) il existe l dans X’ tel que limite de f(x) = l, quand x dans A tend vers a
ii) il existe l dans X’ tel que pour toute suite (x_n) de A convergeant vers, la suite image (f(x_n)) converge vers l.

Remarque 1.4.15: là encore (cf 1.4.9), pour ii) => i), on a besoin d’une base dénombrable de de voisinage en a

MA QUESTION:

Ce qui m’embête, c’est qu’on a besoin d'une BV, pour aller de la définition à la caractérisation séquentielle, soit i)=>ii), pour 1.4.8, mais dans l’autre sens, soit ii)=>i), pour 1.4.14. J’aurais trouvé plus naturel que ce soit dans le même sens, ce qui est d’ailleurs entendu par la formule de la 2ème remarque, « là encore». Et, à parier, j’aurais dit que ii)=>i) est le juste sens.

Quelqu’un aurait-il un avis?

[mathsup]

Raisonnez comme ceci : pour un x dans l'adhérence, il faut construire une suite. Il faut donc trouver un concept quelconque qui fasse intervenir de la dénombrabilité (une suite étant dénombrable). Et la notion de base dénombrable de voisinage dans un espace métrique fait sa place.

Pour la réciproque, il ne s'agit plus de construire un objet comme précédemment, mais de penser en terme de géométrie (être dans l'adhérence, c'est être "infiniment" proche de...), le caractère dénombrable d'une base de voisinage perd dans ce cas de son importance.

Sachez aussi que pour certains espaces topologiques qui n'admettent pas de base de voisinage dénombrable, la réciproque restera vraie, tandis que l'implication peut s'avérer être fausse.

[Murene]

En fait, je ne conteste pas, a priori, les preuves de chacune des propositions. je m'etonne que la bv soit necessaire pour aller de i) a ii) pour l adherence, mais de ii) a i), pour la limite de fonction. J ai besoin d une explication reconciliant cette, sans doute seulement apparente, contradiction.

[zygomatique]

salut

il n'y a pas de contradiction :

1/ i/ => ii/ tu veux montrer l'existence d'une suite telle que ... ce qui présuppose l'existence d'une base de voisinage dénombrable de x

2/ ii/ => i/ à nouveau il faut présupposer l'existence d'une base de voisinage dénombrable puisque dans les hypothèses de ii/ on te parle de suite tendant vers x

[Murene]

Désolé, mais le sens de ma question est passé inaperçu, et je ne peux lui retirer sa pertinence à la lueur des 2 réponses (1, 2). Merci quand même pour vos efforts.

(1) La réponse de mathsup le 7 juillet 2017 laisse entendre qu’il s’agirait de BV pour la proposition (définition => caractérisation séquentielle), mais pas sa réciproque. En fait, il y a deux propositions, une pour l’adhérence, une autre pour la limite de fonctions.

(2) La réponse de zygomatique le 8 juillet 2017 dit qu’il n’y a pas de contradiction, les éléments de preuve recourant à la base dénombrable de voisinage étant à leur place, ce qui n’était pas contesté («je ne conteste par à priori les preuves…»). Bref, cette réponse n’admet pas à priori l’existence d’une contradiction (sans doute « apparente », avais-je déduis, peut-être aurais-je dû parler de paradoxe…), qui crève pourtant les yeux, selon moi.

[Skullkid]

Bonjour, je vais répéter un peu ce qui a déjà été dit mais peut-être que tu trouveras ma reformulation plus claire. Même si dans chaque cas, la proposition (ii) est une caractérisation séquentielle, elles sont quand même différentes : pour l'adhérence c'est "il existe une suite...", pour la limite de fonction c'est "pour toute suite...". Ce détail est important, puisque l'existence d'une base dénombrable de voisinage est utilisée à chaque fois pour construire une suite qui converge vers ce qu'on veut.

Dans le cas de l'adhérence ("il existe une suite..."), la suite qu'on exhibe répond à la question directement. Dans le cas de la limite ("pour toute suite...") on fait une démo par l'absurde et on exhibe une suite pour arriver à une contradiction.

[Murene]

Je vais réfléchir à votre réponse. En attendant, merci.