Sous espaces propres orthogonaux

[Damian29]

bonjour!!
j'ai une question qui m'embète. Il s'agit de montrer que quelque soit i et j appartenant à |[1,p]| les sous espace propre Ei et Ej sont orthogonaux

je sais que pour montrer que deux espace A et B sont orthogonaux il faut montrer que A nclu dans B^t ou B inclu dans A^t

mais je sais pas par quoi commencer :/

[girdav]

Salut,
as-tu une hypothèse que l'on ne peut pas vraiment deviner, telle de la symétrie de l'endomorphisme?

[Ben314]

Salut,
Peut pourait tu commencer par nous donner une information sur l'endomorphisme (ou la matrice) qui donne de tels sous espaces (endomorphisme normal ? , symétrique ?...)

[Damian29]

oui dzl la matrice associé à l'endomorphisme est symétrie.
je viens de faire qqlch mais je sais pas si sa tient la route
voici mon raisonnement:

soit (u1,...,up) appartenant respectivement aux sous espaces propres( E1,..,Ep)
quelque soit (i,j) appartenant à |[1,p]|² avec i diff de j j'ai écrit le vecteur ui et uj en matrice unicolonne dans la base de vecteur propre
d'où Ui=(0,...landa i,..0) et Uj=(0,....,landa j,..0) ( matrice unicolonnes)
j'ai continué le pb en supposant que la base de vecteurs propre est othonormée( mais jen suis pas sur)
du coups
j'ai calculé (ui|uj) et avec le produit matricielle j'obtient la matrice nul
dc (ui|uj)=0 ce qui prouve l'orthogonalité

mais jen suis pas sur dzl

[jeje56]

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres ;

Soient a et b deux valeurs propres disctinctes et u et v deux vecteurs propres respectivement associés :
a*(u,v)=(f(u),v)=t(AU)V=t(U)t(A)V=t(U)AV=(u,f(v))=b*(u,v)

D'où : (a-b)*(u,v)=0 et comme a différent de b, (u,v)=0
On déduit l'orthogonalité des deux sous-espaces propres...

((u,v) représentant le produit scalaire de u et v)

[Damian29]

merci :)
mais se que j'ai fait sa tenait la route ou pas?

[jeje56]

Non... Tu n'utilises déjà pas l'hypothèse de symétrie... enfin je ne crois pas ^^

[Damian29]

arf...
et ormis sa qu'est ce qui est faux?

[jeje56]

Bah c'est le tout qui est faux je pense lol... où utilises-tu que la base est ORTHOnormée ?...

[Damian29]

ba si la base est orthonormé (ui|uj)=Ui^t * Uj

[jeje56]

Exact autant pour moi... C'est peut-être correct dans ce cas... Quelqu'un peut-il confirmer ?

[Ben314]

Salut,
Il y as quand même deux problèmes majeurs dans la preuve de Damian29 :
1) Qu'est ce qui te dit qu'il existe une base de vecteurs propres, c'est à dire qu'est ce qui te dit que la matrice est diagonalisable ? (à mon avis, le but de l'exercice est justement de le démontrer)
2) Qu'est ce qui te dit, qu'en plus, il existe une base orthonormé de vecteurs propres ?

En résumé, pour démontrer le résultat, tu suppose quelque chose qui est... plus fort que le résultat.
C'est un peu comme si on te demandait de montrer qu'un certain x est positif et que tu suppose (sans preuve) qu'il est plus grand que 1 pour en déduire... qu'il est positif...

P.S. Le théorème qu'énonce jeje56 au début de son post est parfaitement correct, mais, à mon avis, vu que le but de l'exo est de démontrer le fameux théorème, on n'a pas le droit de se servir.
A mon avis, la preuve attendue ici est bien celle de jeje56 dans la suite du même post.

[Damian29]

la matrice est diagonalisable car la matrice en question est symétrique
ensuite c'est la où j'étais pas sur est ce que les bases de vecteurs propre sont forcément orthonormé

[Ben314]

la matrice est diagonalisable car la matrice en question est symétrique
ensuite c'est la où j'étais pas sur est ce que les bases de vecteurs propre sont forcément orthonormé

Non, elles ne sont pas forcément orthonormée (s'il y a une valeur propre double, il existe des bases de vecteurs propres non orthonormé), mais il en existe des orthonormé : c'est le théorème donné par jeje56 !!

Mais je te (re)dit qu'a mon avis, tu n'as pas le droit d'utiliser le théorème ici : l'exercice n'aurait plus aucun interêt !!!

[Damian29]

d'accord :) c'était juste sur ce point que j'étais pas sur du tout merci de la réponse ;)