Somme de sous espaces propres

[zobobo]

Bonsoir

Si E est un ev, f un endo de E diagonalisable
pourquoi a-t-on E= sum(sous espaces propres)?
pourquoi n'est ce pas vrai pour un les endomorphismes trigonalisables?

Je sais repondre en utilisant la dimension des espaces mais j'arrive pas à voir le truc, donc une réponse sans faire intervenir les dimensions est la bienvenue...

Merci

[Nightmare]

Salut :happy3:

Sauf erreur, on prend une base B=(e1,e2,...,en) de vecteurs propres de f . Il existe tels que . Les lambdas sont des valeurs propres.

On a la somme

qui est incluse dans elle même incluse dans
CQFD

[yos]

Si E est un ev, f un endo de E diagonalisable
pourquoi a-t-on E= sum(sous espaces propres)?
pourquoi n'est ce pas vrai pour un les endomorphismes trigonalisables?

Parce que c'est la définition de "diagonalisable" (ou presque) : existence d'une base où la matrice de f est diagonale, donc en regroupant les e_i associés à une même vp, tu as E=somme des espaces propres.

[ThSQ]

Etranges questions, ça va pas être inutile de (re- ?)lire son cours ! :marteau: :lol3:

[Antho07]

Ce n'est pas vrai lorsque l endomorphisme n'est que trigonalisable car dans ce cas la, on n'a pa égalité entre la somme des espaces propres et l'espace tout entier.

Lorsque l'endomorphisme est trigonalisable, tu verra plus tard qu'on peut quand meme simplifier un peu plus la matrice en la rendant "diagonale par bloc triangulaire" voir meme quasiment diagonale avec seulement quelque 1 en dessus de la diagonale.

En faite un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres est egale à la dimension de l'espace