Sous espaces affines

[ArtyB]

Bonsoir,

Petit exercice d'Algèbre Linéaire, qui, en n'étant pas encore totalement familier avec tous les concepts, me pose quelques soucis, je ne suis pas sûr de mes réponse.

Soient a, b, c trois paramètres réels. On considère les espaces affines définis par les équations suivantes:





1. Etudier la dimension des espaces A et B en fonction des valeurs des paramètres.

On résout le système homogène associé et on trouve les valeurs des paramètres pour lesquels on a une solution unique (dim=2), ou pas (dim=1) ?
Pour le système A, si a=-4, le système est équivalent à la première ligne.
Pareil pour le second système si b=-1/2 et c=-1.
Dans les deux cas la dimension de l'espace affine est 1
Dans tous les autres cas la dimension est 2.

2.Pour chacun des cas suivants, dire si la situation peut se produire et si oui donner un exemple de valeurs pour a, b, c réalisant la situation. L'intersection est:
-un plan affine
-une droite affine
-un point
-vide

C'est un plan si a=-4, c=-1, et b=-1/2 car se résume à une seule équation de plan
C'est une droite affine si de la forme y=ax+b ie si ?
C'est un point si on a les deux équations x=u, y=v
L'intersection est vide s'il n'y a aucun point en commun ie sinon ?

3.Si on choisit au hasard des valeurs pour a, b, c dans quelle situation vue ci dessus a-t-on le plus de chance de se retrouver ? Le moins de chance ?

Je n'ai aucune idée de comment répondre à cette question mais je dirai que comme les trois première soptins dependent de parametres precis, c'est plus probable que ca soit vide

[Ben314]

Salut,
Déjà, je comprend pas trop pourquoi tu résous le système homogène associé et pas le système lui même.
Ensuite, tu es vraiment sûr que l'espace affine d'équation (par exemple) 2x-y-z=2 c'est une droite affine (i.e. qu'il est de dimension 1) ?
Idem pour l'espace affine de R^3 d'équation y=ax+b : tu es vraiment sûr que c'est une droite ?

QUESTION : pour toi, l'ensemble des (x,y,z) de R^3 vérifiant z=f(x,y) pour une certaine fonction de R^2->R, ça représente quoi ?

[ArtyB]

Merci de ta réponse Ben314.
Oui j'ai fait l'homogène mais en fait ça n'a pas de sens, il faut résoudre le système lui même et on a les même solutions.

Ensuite, tu es vraiment sûr que l'espace affine d'équation (par exemple) 2x-y-z=2 c'est une droite affine (i.e. qu'il est de dimension 1)

Non j'ai dit que c'était un plan et non une droite, pourquoi ?

Idem pour l'espace affine de R^3 d'équation y=ax+b : tu es vraiment sûr que c'est une droite ?

Ah non en effet dans R^3 y=ax+b est un plan n'est-ce pas ?

Pour la réponse à ta question, ça représente une équation cartésienne de plan non ?

[Ben314]

Non j'ai dit que c'était un plan et non une droite, pourquoi ?

Alors ça veut dire que j'ai pas compris ce que signifiait ce passage là du premier post :

...Dans les deux cas la dimension de l'espace affine est 1...
(Dans tous les autres cas la dimension est 2.)

Dans QUELS cas, QUEL(S) espaces affines sont de dimension 1 ? de dimension 2 ?

et les (x,y,z) tels que z=f(x,y), c'est effectivement un plan lorsque f(x,y)=ax+by+c, et en général (avec f suffisamment régulière) c'est ce qu'on appelle une surface.

[aymanemaysae]

Si a=-4
A est défini par 2x-y-z-2=0 qui est l'équation d'un plan normal au vecteur .
Si a-4
A est une droite qui est l'intersection de deux plans normaux aux deux vecteurs et et dont le vecteur directeur est le produit vectoriel de ces deux derniers:^= .

B:.
Si b=- et c=-1
B est la réunion de deux plans parallèles qui admettent le vecteur comme vecteur normal. L'un des plans passe par le point (1,0,0) et l'autre par (-1,0,0).

Sinon

B est la droite de vecteur directeur

Si M. Ben314 valide cette solution, je crois que M. ArtyB nous fera le plaisir de proposer la solution du reste de l'exercice.
Merci.

[ArtyB]

@Aymanemayasae
Merci beaucoup pour ces résultats, c'est ce que j'avais trouvé mais je n'avais aucune idée de comment l'exprimer et le démontrer clairement.
c
@Ben314
au temps pour moi pour les dimensions, merci de me faire remarquer cette erEeur grossière.
Un ea est de la dimension de l'ev associé, de de dimension 1 est une droite affine et de dimension 2 un plan affine.
ie:
A si a=-4 dim=1 car droite
A si a<>-4 dim=1 car droite
B si b=-1/2 et c=-1 dim=2 car réunion de plans
B sinon est de dim=1 car droite

[Ben314]

Il y a une ereur là :

...Si b=- et c=-1
B est la réunion de deux plans parallèles...

Quand on a une accolade avec des équations juxtaposées, ce qui est sous entendu entre les équations, c'est des ET (c'est ce qu'on appelle un système d'équations) donc B c'est l'intersection de... et pas la réunion de ...

...dim=2 car réunion de plans...

Et la réunion de deux plans strictement parallèles n'a pas de dimension (en tout cas pas au sens des sous-espaces affines) vu que cette réunion n'est pas un sous espace affine.

Si tu ne l'a jamais fait, fait cet exercice "classique" :

Soient et deux sous espaces affine d'un espace affine .
Montrer que est un sous espace affine de si et seulement si ou bien

[Ben314]

Il y a une ereur là :

...Si b=- et c=-1
B est la réunion de deux plans parallèles...

Quand on a une accolade avec des équations juxtaposées, ce qui est sous entendu entre les équations, c'est des ET (c'est ce qu'on appelle un système d'équations) donc B c'est l'intersection de... et pas la réunion de ...
(intersection qui, dans ce cas, là est égale à ...)

...dim=2 car réunion de plans...

Et la réunion de deux plans strictement parallèles n'a pas de dimension (en tout cas pas au sens des sous-espaces affines) vu que cette réunion n'est pas un sous espace affine.

Si tu ne l'a jamais fait, fait cet exercice "classique" :

Soient et deux sous espaces affine d'un espace affine .
Montrer que est un sous espace affine de si et seulement si ou bien

[aymanemaysae]

Merci pour la remarque: je crois que dorénavant, je ferai attention au sens de l'accolade.
Encore une fois, Merci.