Sommet parabole avec axe incliné

[arnica-mimosa]

Bonjour,

Soit la conique f :
f: 9x^2 + 24 x y + 16 y^2 + 22x + 46 y + 9 = 0
Les trois premiers termes forment un carré parfait il s’agit donc d’une parabole dont l’axe est incliné par rapport à un repère orthonormé. Son sommet {-47/25, 4/25} peut être obtenu au moyen de l’algèbre uniquement.
Mon problème est que je ne sais quelle formule utiliser pour trouver le sommet par le calcul différentiel. Manifestement résoudre df / dx + df/dy= 0 donne une solution {x,y}incorrecte (je me sers d’un logiciel de mathématiques pour ce type de calculs – il ne me donne pas les formules à utiliser bien sûr).
L’équation de cette parabole ne correspondrait pas à une fonction implicite f(x,y) = 0 auquel cas une autre formule serait à appliquer ici?
Pour trouver les équations des tangentes en un point quelconque {x0,y0} de la parabole je me suis servi de la formule (x-x0) df/dx + (y-yo) df/dy = 0 (dérivées partielles calculées en x0,y0) qui est OK dans ce cas. Pourtant cette formule est applicable aux fonctions implicites f(x,y) = 0.
Merci d’avance

[Luc]

Salut,

je pense qu'il faut que tu introduises un repère orthonormal lié à l'axe de la parabole.

Luc

[Pythales]

Bonjour,

Soit la conique f :
f: 9x^2 + 24 x y + 16 y^2 + 22x + 46 y + 9 = 0
Les trois premiers termes forment un carré parfait il s’agit donc d’une parabole dont l’axe est incliné par rapport à un repère orthonormé. Son sommet {-47/25, 4/25} peut être obtenu au moyen de l’algèbre uniquement.
Mon problème est que je ne sais quelle formule utiliser pour trouver le sommet par le calcul différentiel. Manifestement résoudre df / dx + df/dy= 0 donne une solution {x,y}incorrecte (je me sers d’un logiciel de mathématiques pour ce type de calculs – il ne me donne pas les formules à utiliser bien sûr).
L’équation de cette parabole ne correspondrait pas à une fonction implicite f(x,y) = 0 auquel cas une autre formule serait à appliquer ici?
Pour trouver les équations des tangentes en un point quelconque {x0,y0} de la parabole je me suis servi de la formule (x-x0) df/dx + (y-yo) df/dy = 0 (dérivées partielles calculées en x0,y0) qui est OK dans ce cas. Pourtant cette formule est applicable aux fonctions implicites f(x,y) = 0.
Merci d’avance

Le sommet de la parabole est le point où le rayon de courbure est minimum

[chan79]

Bonjour,

Soit la conique f :
f: 9x^2 + 24 x y + 16 y^2 + 22x + 46 y + 9 = 0
Les trois premiers termes forment un carré parfait il s’agit donc d’une parabole dont l’axe est incliné par rapport à un repère orthonormé. Son sommet {-47/25, 4/25} peut être obtenu au moyen de l’algèbre uniquement.
Mon problème est que je ne sais quelle formule utiliser pour trouver le sommet par le calcul différentiel. Manifestement résoudre df / dx + df/dy= 0 donne une solution {x,y}incorrecte (je me sers d’un logiciel de mathématiques pour ce type de calculs – il ne me donne pas les formules à utiliser bien sûr).
L’équation de cette parabole ne correspondrait pas à une fonction implicite f(x,y) = 0 auquel cas une autre formule serait à appliquer ici?
Pour trouver les équations des tangentes en un point quelconque {x0,y0} de la parabole je me suis servi de la formule (x-x0) df/dx + (y-yo) df/dy = 0 (dérivées partielles calculées en x0,y0) qui est OK dans ce cas. Pourtant cette formule est applicable aux fonctions implicites f(x,y) = 0.
Merci d’avance

Bonjour
Je ne suis pas sûr que ce soit ce que tu cherches mais on peut trouver les coordonnées du sommet ainsi:
On coupe la parabole par deux droites parallèles.
J'ai pris la droite d'équation x=0 qui coupe la parabole en deux points. Pour le milieu de ces deux points, on trouve I(0,-23/16)
J'ai ensuite pris la droite d'équation x=1 et qui coupe la parabole en deux points. Pour le milieu de ces deux points, on trouve J(1,-35/16)
On en déduit que la droite (IJ) ainsi que l'axe de symétrie de la parabole ont comme pente -3/4
Les parallèles à la directrice ont donc comme pente 4/3
L'équation de ces parallèles est y=4/3x+p
On cherche p pour que l'intersection avec la parabole se réduise à 1 point. On est amené à chercher pour quelle valeur un discriminant est nul; on trouve p=8/3
Il reste à trouver les coordonnées du point d'intersection de la parabole et de la perpendiculaire à son axe correspondant à p=8/3.
On trouve bien (-47/25,4/25)
Mais il y a sans doute plus simple, même si les calculs ne sont pas très compliqués.

[arnica-mimosa]

Merci pour votre réponse.
On peut parvenir par une longue suite de manipulations uniquement algébriques à modifier l'équation f que j'ai donnée dans mon post par celle-ci :
f = (3x+4y+5)^2 = 2(4x-3y+8) ce qui donne directement l'équation de la tangente au sommet, de l'axe puis celle du sommet et par un autre transformation Y^2 = 2/5 X dans ce nouveau repère orthonormé. Mon besoin est de parvenir à trouver ce sommet par une combinaison de dérivées partielles uniquement.

[arnica-mimosa]

Concrètement dois-je trouver le minimum de df /dx + df/dy (et non nul comme je le pensais) ou minimum d'autre chose ?
Merci pour votre réponse

[chan79]

Concrètement dois-je trouver le minimum de df /dx + df/dy (et non nul comme je le pensais) ou minimum d'autre chose ?
Merci pour votre réponse

Le sommet d'une parabole est son seul point où la normale ne la recoupe pas. Je ne sais pas si ça peut servir ...

[JeanJ]

Bonjour,

l'équation de la parabole étant de la forme :
(A*x + B*y)² + C*x + D*y + 1 =0
On connait immédiatement le coefficient directeur de son axe , soit B/A. Il suffit donc de faire une rotation du système d'axes d'un angle (a) avec tg(a)=B/A pour ramener l'equation à la forme normale et en tirer les coordonnées du sommet.
Les calculs, qui sont un peu bourrins, conduisent aux formules des coordonnées du sommet. Ces formules étant volumineuses, je n'ai pas envie de les écrire en LATEX. Et il n'est pas possible d'en attacher une copie sur ce forum.
Si quelqu'un est intéressé par ces formules, qu'il me contacte par la messagerie privée et je les lui enverrai.
Bien sûr, on peut envisager d'autres méthodes que le changement d'axes. Mais de toutes façons, les calculs ne peuvent pas être simples puisqu'on arrivera exactement aux mêmes formules volumineuses.

[chan79]

Bonjour,

l'équation de la parabole étant de la forme :
(A*x + B*y)² + C*x + D*y + 1 =0
On connait immédiatement le coefficient directeur de son axe , soit B/A.

Bonjour
J'ai un doute pour B/A.
9x²+24xy+16y²+22x+46y+9=0 s'écrit
(3x+4y)²+22x+46y+9=0
En divisant tout par 9,
(x+4y/3)²+22/9*x+46/9*y+1=0
A=1 et B=4/3 donne B/A=4/3
or le coefficient directeur de l'axe est -3/4
4/3 est le coefficient directeur des droites perpendiculaires à l'axe.
Si on remplace y par y=4x/3+p dans l'équation initiale, on a une équation du second degré en x avec p comme paramètre.
Le discriminant est nul si
(4p+5)²=16p²+46p+9 ce qui donne p=8/3
La solution double correspondant à l'abscisse du sommet est -47/25
Le calcul n'est pas compliqué
Mais arnica-mimosa veut résoudre cette question avec les dérivées partielles.
On peut sans doute exprimer le rayon de courbure en un point (a,b) de la parabole, en utilisant des dérivées partielles; ensuite il faut voir pour quel point le rayon de courbure est minimal ... ???

[JeanJ]

Oui, bien sûr, B/A est le coefficient directeur de la tangente au sommet et -A/B est celui de l'axe. J'ai inversé en rédigeant (mais pas d'erreur en faisant les calculs).
Merci d'avoir signalé la faute d'inattention.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si on connait le coefficient directeur de l'axe, on peut écrire l'équation d'une perpendiculaire à cet axe.
Les coordonnées du sommet correspondent à LA solution double de l'intersection de cette droite et de la parabole.

[arnica-mimosa]

Bonjour
J'ai un doute pour B/A.
9x²+24xy+16y²+22x+46y+9=0 s'écrit
(3x+4y)²+22x+46y+9=0
En divisant tout par 9,
(x+4y/3)²+22/9*x+46/9*y+1=0
A=1 et B=4/3 donne B/A=4/3
or le coefficient directeur de l'axe est -3/4
4/3 est le coefficient directeur des droites perpendiculaires à l'axe.
Si on remplace y par y=4x/3+p dans l'équation initiale, on a une équation du second degré en x avec p comme paramètre.
Le discriminant est nul si
(4p+5)²=16p²+46p+9 ce qui donne p=8/3
La solution double correspondant à l'abscisse du sommet est -47/25
Le calcul n'est pas compliqué
Mais arnica-mimosa veut résoudre cette question avec les dérivées partielles.
On peut sans doute exprimer le rayon de courbure en un point (a,b) de la parabole, en utilisant des dérivées partielles; ensuite il faut voir pour quel point le rayon de courbure est minimal ... ???

Bonsoir à Jean et ceux qui m'ont donné d'autres réponses

J'ai complété mon premier post hier par un autre à 20H36 qui résume comment je suis parvenu par des moyens algébriques uniquement à trouver les principales caractéristiques de cette conique.

Je cherche à comprendre pourquoi trouver une tangente en un point donné de cette courbe est obtenu facilement en utilisant des dérivées partielles selon la méthode que j'ai décrite et que celle ci ne puisse être étendue à trouver son point critique (de manière un peu plus sophistiquée certes)
Parmi les réponses reçues, trouver le rayon de courbure minimal. Entièrement d'accord sauf que je ne connais qu'une formule de rayon de courbure
R=((1+y'^2)^3/2)/y''x
applicable à une fonction f(x) et je n'ai jamais trouvé dans tous les livres que j'ai pu consulter (y compris à la BNF) sa version applicable à une fonction f(x,y). Mathworld est muet aussi sur ce sujet. Sans doute une usine à gaz pour traiter le cas d'une simple conique.
Il y a peut être un piste, j'ai pu constater avec mon logiciel de mathématique que la somme des dérivées partielles en x et y (évaluées pour x0, y0) de cette conique est à un maximum (-2) lorsque X0,Y0 correspond au sommet de la courbe. (est-ce vrai par ce que c'est une conique ?)
Il me faut donc résoudre le système:
Maximum(42x+56y+68) et f(x,y) = 0

A+ sans doute

[Luc]

En fait pour calculer efficacement le rayon de courbure d'une courbe paramétrée il est utile d'introduire le repère de Frénet (T,N).

[JeanJ]

je ne connais qu'une formule de rayon de courbure
R=((1+y'^2)^3/2)/y''x
applicable à une fonction f(x) et je n'ai jamais trouvé dans tous les livres que j'ai pu consulter (y compris à la BNF) sa version applicable à une fonction f(x,y).

Regarde cet article : http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
La formule (17) donne K = 1/R (sans respect du signe. Plus précisément R=valeur absolue(1/K) ), exprimé avec les dérivées partielles.

Remarque :

Les diverses méthodes qui ont été indiquées au cours de cette discussion ne sont pas difficiles à appliquer et ne mettent pas en oeuvre des formules compliquées, lorsqu'on travaille avec une équation f(x,y)=0 dans laquelle les coefficients sont donnés numériquement. Par exemple :
(x+(4/3)y)²+(22/9)*x+(46/9)*y+1=0
Pär contre, lorsqu'on cherche à répondre à la même question avec les coefficients sous forme littérale, par exemple :
(A*x+B*y)²+C*x+D*y+1=0
cela devient beaucoup plus lourd. Les formules sont volumineuses (aussi bien avec la méthode de rotation des axes, qu'avec la méthode d'intersection par une droite parallèle à la tangente au sommet et sans doute avec d'autres méthodes).
Avec la méthode que vous voudrez, essayez donc d'expliciter les coordonnées du sommet en fonction de A, B, C et D pour vous en rendre compte !
Heureusement, ce n'est pas ce que arnica-mimosa demandait dans son premier post. Néanmoins, il m'a semblé intéressant de corser un peu (et même beaucoup) le problème en proposant de calculer ces fameuses formules littérales.

[JeanJ]

Message supprimé (doublon par erreur de manipulation)

[arnica-mimosa]

Regarde cet article : http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
La formule (17) donne K = 1/R (sans respect du signe. Plus précisément R=valeur absolue(1/K) ), exprimé avec les dérivées partielles.

Remarque :

Les diverses méthodes qui ont été indiquées au cours de cette discussion ne sont pas difficiles à appliquer et ne mettent pas en oeuvre des formules compliquées, lorsqu'on travaille avec une équation f(x,y)=0 dans laquelle les coefficients sont donnés numériquement. Par exemple :
(x+(4/3)y)²+(22/9)*x+(46/9)*y+1=0
Pär contre, lorsqu'on cherche à répondre à la même question avec les coefficients sous forme littérale, par exemple :
(A*x+B*y)²+C*x+D*y+1=0
cela devient beaucoup plus lourd. Les formules sont volumineuses (aussi bien avec la méthode de rotation des axes, qu'avec la méthode d'intersection par une droite parallèle à la tangente au sommet et sans doute avec d'autres méthodes).
Avec la méthode que vous voudrez, essayez donc d'expliciter les coordonnées du sommet en fonction de A, B, C et D pour vous en rendre compte !
Heureusement, ce n'est pas ce que arnica-mimosa demandait dans son premier post. Néanmoins, il m'a semblé intéressant de corser un peu (et même beaucoup) le problème en proposant de calculer ces fameuses formules littérales.

Bonsoir

Merci Jeanj pour cette réponse et à Chan79 qui m'a fait parvenir le lien http://serge.mehl.free.fr/anx/cbes_gauche.html (voir vers la fin), réponses qui me plaisent beaucoup!
Je regarderai de plus prés dans quelques jours.
Vous savez mieux chercher dans internet que moi!
Cordialement

[chan79]

Regarde cet article : http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
La formule (17) donne K = 1/R (sans respect du signe. Plus précisément R=valeur absolue(1/K) ), exprimé avec les dérivées partielles.

Remarque :

Les diverses méthodes qui ont été indiquées au cours de cette discussion ne sont pas difficiles à appliquer et ne mettent pas en oeuvre des formules compliquées, lorsqu'on travaille avec une équation f(x,y)=0 dans laquelle les coefficients sont donnés numériquement. Par exemple :
(x+(4/3)y)²+(22/9)*x+(46/9)*y+1=0
Pär contre, lorsqu'on cherche à répondre à la même question avec les coefficients sous forme littérale, par exemple :
(A*x+B*y)²+C*x+D*y+1=0
cela devient beaucoup plus lourd. Les formules sont volumineuses (aussi bien avec la méthode de rotation des axes, qu'avec la méthode d'intersection par une droite parallèle à la tangente au sommet et sans doute avec d'autres méthodes).
Avec la méthode que vous voudrez, essayez donc d'expliciter les coordonnées du sommet en fonction de A, B, C et D pour vous en rendre compte !
Heureusement, ce n'est pas ce que arnica-mimosa demandait dans son premier post. Néanmoins, il m'a semblé intéressant de corser un peu (et même beaucoup) le problème en proposant de calculer ces fameuses formules littérales.

voui, c'est un peu compliqué, même si, à un moment, il y a une grosse simplification
l'abscisse du sommet est
-
je laisse à d'autres le soin de simplifier, de faire pareil pour l'ordonnée du sommet et surtout d'apprendre tout ça par coeur, ça peut servir ... :ptdr:

[JeanJ]

Salut Chan79,

Je me demandais si quelqu’un relèverait le défi. Bravo, tu l’as fait !

l'abscisse du sommet est
-

Toutefois, il semble que ton résultat et le mien ne concordent pas exactement, bien qu’il y ait une grande ressemblance.
Pour l’abscisse du somment, au dénominateur j’ai :
4(AD-BC)(A²+B²)²
et au numérateur :
4B(A²+B²)² -2BD²(A²+B²) +A²BC² -2(A^3)CD +(B^3)D²
Pour l’ordonnée, le dénominateur est le même :
4(AD-BC)(A²+B²)²
et au numérateur j'ai :
-4A(A²+B²)² +AC²(A²+B²) +AB²C² +2(B^3)CD –AB²D²

Bien sûr, nous devrions trouver la même chose. S’agit-il seulement de transformation permettant de passer de l’un à l’autre, donc de montrer leur égalité ? Ou y a-t-il des erreurs, soit de mon coté, soit du tien, soit des deux ?
As-tu fait une vérification numérique ? Avec A=1 , B=4/3 , C=22/9 , D=46/9, j"obtiens x= - 47/25 et y=4/25

Malheureusement je ne connaîtrai pas le fin mot de l’histoire prochainement, car je m’absente pour une durée un peu longue. Bonne continuation à tous.

[chan79]

Salut Chan79,

Je me demandais si quelqu’un relèverait le défi. Bravo, tu l’as fait !


Toutefois, il semble que ton résultat et le mien ne concordent pas exactement, bien qu’il y ait une grande ressemblance.
Pour l’abscisse du somment, au dénominateur j’ai :
4(AD-BC)(A²+B²)²
et au numérateur :
4B(A²+B²)² -2BD²(A²+B²) +A²BC² -2(A^3)CD +(B^3)D²
Pour l’ordonnée, le dénominateur est le même :
4(AD-BC)(A²+B²)²
et au numérateur j'ai :
-4A(A²+B²)² +AC²(A²+B²) +AB²C² +2(B^3)CD –AB²D²

Bien sûr, nous devrions trouver la même chose. S’agit-il seulement de transformation permettant de passer de l’un à l’autre, donc de montrer leur égalité ? Ou y a-t-il des erreurs, soit de mon coté, soit du tien, soit des deux ?
As-tu fait une vérification numérique ? Avec A=1 , B=4/3 , C=22/9 , D=46/9, j"obtiens x= - 47/25 et y=4/25

Malheureusement je ne connaîtrai pas le fin mot de l’histoire prochainement, car je m’absente pour une durée un peu longue. Bonne continuation à tous.

Bonjour
J'ai seulement vérifié que je trouve bien sur -47/25 en remplaçant A par 1 et B par 4/3.
Mais des tests au tableur donnent les mêmes résultats.
Mon dénominateur se simplie facilement ( le 4B²D et le -4DB² s'annullent).
Ca donne 8A(A²+B²)²(BC-AD) qui se rapproche encore plus de ton dénominateur

[JeanJ]

Je viens de faire plusieurs tests numériques avec diverses valeurs des paramètres. Je trouve que ta formule pour calculer l'absisse et la mienne donnent des résultats numériques concordants. Ceci laisse à penser qu"il ni a pas d'erreur et qu'il y a probablement moyen de transformer nos formules pour arriver à la même.
Pour l'ordonnée, je n'ai pas pu comparer car tu n'as pas encore publié ta formule.
@+ et bien cordialement