Sommes de Riemann

[Georges10]

Bonjour chers amis,

Svp j'ai une petite question sur les sommes de Riemann.
On dit que lim[(b-a)/n]∑f(aᵢ+i/n) i ---› 1 à n = intégrale de a à b de f(x)dx
J'aimerais savoir pourquoi l'on a tendance à travailler sur [0, 1] ?

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Pour la simple raison, c'est que tu peux toujours faire un changement de variable affine qui te ramène
un intervalle [a,b] à [0,1].
Pour les neurones on aime bien ne pas les fatiguer et travailler sur un même intervalle de référence.
C'est un peu la même chose pour les limites, DSE, .... on aime bien travailler en 0.
Si tu cherches le comportement d'une fonction en x=1 tu poses u=x-1 et tout revient à calculer en u=0.
Pour les éléments finis c'est idem. N'importe quel triangle du maillage tu le ramènes à un triangle dit de référence où on sait bien calculer.
En maths il n'y a que ça, on fait des transformations aussi simples que possible pour se ramener où on est à l'aise.

[Georges10]

Ok merci
Mais souvent il arrive que i ---› n à 2n-1. J'aimerais savoir si l important est de garder le nombre de termes = n ?

Merci.

[aviateur]

Là je ne peux pas répondre sans un exemple précis

[Georges10]

Par exemple on demande de calculer lim ∑ 1/(n+k) k ---› n à 2n-1

[aviateur]

Je regardes k=0 à 2n-1 ?? Tu peux écrire en latex?

[Georges10]

Non c'est k = n à 2n-1

[Yezu]

Je pense qu'il parle de :

.

[aviateur]

Effectivement comme tu le vois il faut se ramener à des trucs standard
Tu poses
Donc ta somme S_n est!


où
D'où la limite c'est facile à calculer

[aviateur]

Bon ok Yezu j'ai répondu avec k=0.
Dans ce cas
tu poses k'=n-k et tu mets 1/n en facteur et regardes cela devrait aller

[Georges10]

En fait j'avais déjà calculer.
Mais si tu poses N = 2 * n , comment tu trouves k = 0 ?
Selon moi si on pose N = 2 * n alors n = N / 2 , mais le calcul devient un peu compliqué

[FLBP]

Salut, si Yezu à raison :
Pour la résoudre tu peux imaginer que est presque continue quand tend vers ;
Donc tu peux poser une intégrale:

[aviateur]

C'est pas ça du tout. Comme tu n'a pas mis k=n j'ai cru comprendre que l'exercice c'est k=0 à.....
J'ai fais un calcul en fonction de cela.

Mais maintenant si k=n à ... c'est différent il faut poser k'=k-n
ainsi k' va de 0 à n-1 c'est une autre question mais tu retombes sur une somme de Riemann standard

[aviateur]

Bonjour @FBLP la question de @georges c'est comment on se ramène à une somme de Riemann standard
de la forme
je crois qu'il sait que (si f est correct) que cela converge vers

[aviateur]

Si tu a mis k=n mais il faudrait écrire en latex. Merci pour les aidants!!

[FLBP]

@aviateur,
Ah dans ce cas oui, pardon.

PS: Mon pseudo n'est pas commutatif ...

[aviateur]

Bon en général les groupes sont abéliens.

[FLBP]

@Au averti : Les groupes sont commutatifs

NB: On s'éloigne du sujet

[aviateur]

lol

[Pseuda]

Par exemple on demande de calculer lim ∑ 1/(n+k) k ---› n à 2n-1

Bonsoir,

Pour calculer une somme de Riemann, il faut se ramener à allant de à (ou k allant de 1 à n).

Dans ton exemple pour s'y ramener, il faut poser , soit , on obtient la somme pour variant de à de .