Sommes de Riemann et détermination de limite

[ArtyB]

Bonjour,

Pour calculer la limite en plus l'infini de:
(1/n)* [Somme de 1 à n de racine n-ième de 2^k]
Je ne sais pas comment insérer une écriture mathématiques ici donc la voici en image:



Je sais que cette somme peut se transformer en intégrale et que cela m'aidera à trouver la limite, mais je ne sais pas du tout comment transforme cette somme en integrale.
Normalement on a Somme de 0 à n-1 de ((Xi+1-Xi)*yi)=integrale mais là...

[arnaud32]

reste a calculer

[ArtyB]

Ah bien vu pour poser ça comme fonction.
Mais lorsqu'on a 1/n Somme de 1 à n de f(k/n) comment transformer ça intégrale ?
Et pourquoi calculer l'integrale entre 0 et plus l'infini de f ?

[DamX]

Ah bien vu pour poser ça comme fonction.
Mais lorsqu'on a 1/n Somme de 1 à n de f(k/n) comment transformer ça intégrale ?
Et pourquoi calculer l'integrale entre 0 et plus l'infini de f ?

Hello,

C'est entre 0 et 1, pas entre 0 et l'infini, arnaud32 s'est corrigé entre temps.

Et le pourquoi, c'est que c'est une somme de Riemann, une sommation "en rectangles" qui va converger vers l'intégrale : http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann. Du coup la limite de la somme est exactement égale à l'intégrale (car la fonction f est continue sur [0,1])

Damien

[DamX]

Pour info, on peut calculer la limite autrement, sans utiliser un passage à l'intégrale, car on peut calculer la somme exactement, c'est en fait une somme géométrique classique :





Ensuite, pour avoir la limite de cette expression, il suffit de faire un petit développement limité ou un équivalent. En effet : , et tu dois savoir que lorsque x tend vers 0, ce qui est le cas de ln(2)/n.

Du coup, , et finalement :


Tu verras que tu dois retrouver le même résultat que par le passage par l'intégrale.

Damien

[ArtyB]

Merci beaucoup !
Dans mon cours (CNED) pour la somme de Riemann il était seulement dit:
"Somme de 0 à n-1 de ((Xi+1-Xi)*yi)=integrale"
Il ne faisait pas référence à la méthode des rectangles...
Je comprends beaucoup mieux maintenant, merci beaucoup à vous !

[ArtyB]

Du coup on a une primitive F de f:
F(x)=(1/ln(2)) * e^(x*ln(2))
Donc l'intégrale vaut 1/ln(2) et la limite de même ?

EDIT: je n'avais pas vu l'autre façon de faire en calculant directement la somme, merci beaucoup !