Somme de Riemann

[nekros]

Salut :)

Dans les sommes de Riemann, je n'arrive pas à voir graphiquement pourquoi lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, alors la somme tend vers l'intégrale de la fonction.

Merci

[fahr451]

bonjour

moi non plus:

car pour chaque rectangle l 'erreur est plus faible le pas étant plus petit

mais il y a un plus grand nombre de rectangles

[rifly01]

Salut,

Parce que les fonctions escaliers qui encadrent la fonction étudiée sont égales.
Le rectangles sont tellement petits que l'erreur tends vers 0
dx : c'est quelque chose de très petit

[nekros]

Salut,

JE ne comprends pas ta réponse : tu dis que tu ne comprends pas pas et tu me donnes quand même une explication !!!!!!

[fahr451]

finalement ça tient à un epsilon près

il faut une preuve

[duchere]

On sent que ca tend vers l'intégrale, et on le montre avec le lemme des gendarmes.
c'est tout.

[fahr451]

heu je dis que graphiquement je ne le vois pas car il y a une "contradiction" entre l 'erreur sur chaque rectangle de plus en plus petite et le nombre de rectangles de plus en plus grand

on ne peut pas conclure sur un nombre de plus en plus grand d'erreurs de plus en plus petites

il faut une preuve

uniforme continuité etc etc

[bitonio]

En fait c'est tout simple:



d'où

Soit positif. Par heine, f est uniformément continue, donc il existe > 0 tel que pour tout x,y |f(x)-f(y)| => |f(x)-f(y)|

Il existe tel que > de sorte que sur [ ] les variations de f sont inférieures à

donc > ,
donc quand n tend vers l'infini, ca tend vers l'intégrale par pincement

Voila

[fahr451]

oui oui mais c'est tout sauf graphique.

[bitonio]

Si f est on peut faire mieux !






Donc

On obtient un pincement et une erreur en O( )

[bitonio]

Je trouve que Heine permet de comprendre assez bien ce phénomène...

[bitonio]

Par Heine, tu peux faire tendre la pente vers 0 quitte à prendre x et y assez proches. En faisant tendre y-x vers 0, la pente tend vers 0 et on a des rectangles...