Somme de riemann

[Anonyme]

Bonsoir tout le monde ,


Alors voilà je bloque sur cet exercice :

Quelle est la plus grande somme de riemann pour cette intégrale :



Lorsqu'on divise l'intervalle [0,pi/3] entre deux intervalles : [0,pi/6], et [pi/6,pi/3].

###

Je ne sais pas du tout comment résoudre, j'ai la définition de reimann, mais pas l'ombre d'un exemple concret pour ce type d'exercice par exemple..

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment procéder ?

Merci d'avance ! :lol3:

[Pythales]

Bonsoir tout le monde ,


Alors voilà je bloque sur cet exercice :

Quelle est la plus grande somme de riemann pour cette intégrale :



Lorsqu'on divise l'intervalle [0,pi/3] entre deux intervalles : [0,pi/6], et [pi/6,pi/3].

###

Je ne sais pas du tout comment résoudre, j'ai la définition de reimann, mais pas l'ombre d'un exemple concret pour ce type d'exercice par exemple..

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment procéder ?

Merci d'avance ! :lol3:

Drôle de question.

Soient




Comme le sinus est croissant, j'aurais tendance à dire la 2ème...

[Anonyme]

Drôle de question.

Soient




Comme le sinus est croissant, j'aurais tendance à dire la 2ème...

Bonsoir,

Euh ok, mais pourrais-tu m'expliquer un peu comment tu procède pour arriver à ces expressions ? Car c'est ça que je n'ai pas réussi à faire..

Ah et je dois rentrer une valeur numérique comme réponse apparemment, pas d'expression avec n.. Donc je ne comprends pas vraiment bien ce que tu as écris.. désolé.

Merci !

[raph107]

Bonsoir,

Euh ok, mais pourrais-tu m'expliquer un peu comment tu procède pour arriver à ces expressions ? Car c'est ça que je n'ai pas réussi à faire..

Ah et je dois rentrer une valeur numérique comme réponse apparemment, pas d'expression avec n.. Donc je ne comprends pas vraiment bien ce que tu as écris.. désolé.

Merci !

Je pense qu'il s'agit tout simplement de 2 subdivisions: [0;pi/6] et [pi/6;pi/3], Donc tu prends la 2 ème formule donnée par Pythales avec n = 1. Comme la fonction est croissante, pour avoir une somme maximale on prend f(pi/6) dans la 1ére subdivision et f(pi/3) dans la seconde (f étant la fonction définie sous l'intégrale), ce qui donne:

[Anonyme]

Je pense qu'il s'agit tout simplement de 2 subdivisions: [0;pi/6] et [pi/6;pi/3], Donc tu prends la 2 ème formule donnée par Pythales avec n = 1. Comme la fonction est croissante, pour avoir une somme maximale on prend f(pi/6) dans la 1ére subdivision et f(pi/3) dans la seconde (f étant la fonction définie sous l'intégrale), ce qui donne:

Ok ok, j'y vois plus clair, mais juste que veut dire n= 1 en faite ? Quand est-ce que je dois aller au rang 2,3.. Ca m'inquiète un peu je n'ai pas cette formule dans mon cours :s... Bon on vient de commencer en même temps mais bon..

Merci !

[raph107]

le nb n représente l'indice de la dernière subdivision. Ici on a commencé la numérotation à 0 et comme il y a 2 subdivisions, n= 1.

[Anonyme]

le nb n représente l'indice de la dernière subdivision. Ici on a commencé la numérotation à 0 et comme il y a 2 subdivisions, n= 1.

Compris, merci je vais en essayer d'en faire d'autre .

[Anonyme]

Re,

Je reviens vers vous, car grâce aux explications j'ai pu trouvé, la somme minimale, qui est selon moi :

(pi/6)*(1+(sqrt(5)/2))

Maintenant, je voudrais savoir, si je pouvais choisir n'importe quel séparation d'intervalle de l'intervalle de départ, pas forcément (0, pi/6) et (pi/6, pi/3), que devrais choisir pour avoir la plus grande somme possible ?

Je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien saisi la formule de la somme donné par Pythales en fait.. Le pi/6n du début de formule, change en fonction des intervalles je suppose ? Y'a t'il une formule générale, histoire que je saisisse bien ?

Merci d'avance pour votre aide.

[raph107]

Re,

Je reviens vers vous, car grâce aux explications j'ai pu trouvé, la somme minimale, qui est selon moi :

(pi/6)*(1+(sqrt(5)/2))

Maintenant, je voudrais savoir, si je pouvais choisir n'importe quel séparation d'intervalle de l'intervalle de départ, pas forcément (0, pi/6) et (pi/6, pi/3), que devrais choisir pour avoir la plus grande somme possible ?

Je ne suis toujours pas sûr d'avoir bien saisi la formule de la somme donné par Pythales en fait.. Le pi/6n du début de formule, change en fonction des intervalles je suppose ? Y'a t'il une formule générale, histoire que je saisisse bien ?

Merci d'avance pour votre aide.

Ton calcul est correct pour la somme minimale.
Dans la formule il y a un pb d'indices et n'est pas valable pour un nb de subdivisions superieur à 2.
Utilise cette formule pour une subdivision d'un intervalle [a;b] en n subdivisions régulières:
avec quelconque dans la subdivision k. Dans cette formule, les subdivisions sont numérotées de 1 à n.
Chaque choix des détermine une somme de Riemann et li y en a une infinité.
Pour une somme minimale ou maximale on choisit les de façon à ce que soit minimal ou maximal dans la subdivision k.

Voilà, j'espère que cette fois-ci il n'y a pas d'erreur et si c'est pas clair n'hésite pas à revenir.

[Anonyme]

Bonsoir raph, :happy2:

Merci bien pour les précisions, et la formule assez explicite. Cependant, je ne suis pas certain d'avoir tout saisi ;

Je peux maintenant choisir n'importe quelle séparation d'intervalle pour [0, pi/3], j'avais pensé par exemple choisir :

[0, pi/4] et [pi/4, pi/3]. Tout d'abord, disons que je recherche la plus grande somme de Reimann possible.


Quand je calcule la somme sur [pi/4; pi/3] disons, j'obtiens, en passant par la formule :



J'ai dans la formule, n = 2, a = 0, b = pi/3. Pour ce qui est des xk et f(xk), je ne suis pas sûr d'avoir tout saisi.. Disons que là la somme que j'ai trouvé est déjà supérieure à celle précédemment trouvée, mais comment savoir si c'est la somme maximale ? Car en réalité j'ai choisis mon intervalle [pi/4, pi/3] un peu au hasard..

Du coup pour l'autre intervalle par contre [0, pi/4], je n'ai pas la somme minimale..

Si je pouvais encore quelques précisions, ça serait sympa. C'est pas évident évident je trouve au premier abord .

Merci d'avance.

[Doraki]

essaye de découper en [0;1/10000] et [1/10000;pi/3]. Ou alors ne découpe pas du tout et garde un seul intervalle [0;pi/3]

[raph107]

Bonsoir raph, :happy2:

Merci bien pour les précisions, et la formule assez explicite. Cependant, je ne suis pas certain d'avoir tout saisi ;

Je peux maintenant choisir n'importe quelle séparation d'intervalle pour [0, pi/3], j'avais pensé par exemple choisir :

[0, pi/4] et [pi/4, pi/3]. Tout d'abord, disons que je recherche la plus grande somme de Reimann possible.


Quand je calcule la somme sur [pi/4; pi/3] disons, j'obtiens, en passant par la formule :



J'ai dans la formule, n = 2, a = 0, b = pi/3. Pour ce qui est des xk et f(xk), je ne suis pas sûr d'avoir tout saisi.. Disons que là la somme que j'ai trouvé est déjà supérieure à celle précédemment trouvée, mais comment savoir si c'est la somme maximale ? Car en réalité j'ai choisis mon intervalle [pi/4, pi/3] un peu au hasard..

Du coup pour l'autre intervalle par contre [0, pi/4], je n'ai pas la somme minimale..

Si je pouvais encore quelques précisions, ça serait sympa. C'est pas évident évident je trouve au premier abord .

Merci d'avance.

Les subdivisions peuvent très bien être de tailles différentes. Dans l'exemple que tu as cité, une somme de Riemann est de la forme:
quelconques respectivement dans [0, pi/4] et [pi/4, pi/3].
Dans ce cas comme f est croissante, pour une somme maximale on prendra et pour une somme minimale on prendra

[Anonyme]

Hum.. Ok, merci une fois encore pour les explications. Si je comprends bien, la division que j'ai prise est correcte ?

Si j'avais divisé autrement, je pouvais trouver sur l'intervalle de division la plus grand somme possible, mais qui me dit que celle-ci aurait été LA plus grande possible ?

Tu dis que j'ai pris un exemple d'intervalle, et c'est en effet le cas, mais comment savoir avec certitude que c'est correct pour la question posée ?

(J'espère que c'est clair..).

Merci bien.


P.S : @Doraki : merci également pour ta réponse, la deuxième partie m'intrigue un peu.. Si je comprends bien, je pourrais donc ne rien découper du tout et chercher LA plus grande somme possible ? Ce qui répondrait à ma précédente question alors..

Merci.

[raph107]

Le maximum ou le minimum d'une somme de Riemann dépend à la fois du nombre de subdivisions et des subdivisions. Dans les 2 cas qu'on a traités tu n'as pris que 2 subdivisions. Dans le premier cas les 2 subdivisions étaient de la même taille et dans le second de tailles différentes. Et c'est normal qu'on ne trouve pas le même résultat dans les 2 acs.

Le but de ton exercice est de faire comprendre une somme Riemann sur un exemple simple, mais l'utilisation réelle n'a d'intérêt que pour un nb de subdivisons n très grand qu'on fait tendre vers + l'infini. Tu verras prochainement dans ton cours que si une somme de Riemann admet une limite quand n tend vers +l'infini, alors toutes les autres sommes de Riemann tendent vers la même limite. Cette limite, quand elle existe, est l'integralle de la fonction sur l'intervalle [a;b] et elle ne dépend pas de la manière dont on a subdivisé cet intervalle, c'est à dire que le fait de subdiviser l'intervalle en parts égales ou différentes n'a aucune importance.

Quand on prend un petit nombre de subdivisons une somme de Riemann admet un maximum et un minimum, en général différents, qui dépendent à la fois du nb de subdivisions et de leurs tailles, mais, sous certaines conditions, plus on augmente le nb de subdivisions plus ce minimum et ce maximum s'approchent l'un de l'autre et coincident quand on fait tendre le nb de subdivisions vers +l'infini.

[Anonyme]

Le maximum ou le minimum d'une somme de Riemann dépend à la fois du nombre de subdivisions et des subdivisions. Dans les 2 cas qu'on a traités tu n'as pris que 2 subdivisions. Dans le premier cas les 2 subdivisions étaient de la même taille et dans le second de tailles différentes. Et c'est normal qu'on ne trouve pas le même résultat dans les 2 acs.

Le but de ton exercice est de faire comprendre une somme Riemann sur un exemple simple, mais l'utilisation réelle n'a d'intérêt que pour un nb de subdivisons n très grand qu'on fait tendre vers + l'infini. Tu verras prochainement dans ton cours que si une somme de Riemann admet une limite quand n tend vers +l'infini, alors toutes les autres sommes de Riemann tendent vers la même limite. Cette limite, quand elle existe, est l'integralle de la fonction sur l'intervalle [a;b] et elle ne dépend pas de la manière dont on a subdivisé cet intervalle, c'est à dire que le fait de subdiviser l'intervalle en parts égales ou différentes n'a aucune importance.

Quand on prend un petit nombre de subdivisons une somme de Riemann admet un maximum et un minimum, en général différents, qui dépendent à la fois du nb de subdivisions et de leurs tailles, mais, sous certaines conditions, plus on augmente le nb de subdivisions plus ce minimum et ce maximum s'approchent l'un de l'autre et coincident quand on fait tendre le nb de subdivisions vers +l'infini.

Parfait ,

Merci beaucoup pour le coup de main en tout cas !

A bientôt.