Somme de carrés

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide sur un exercice que je n'arrive pas à finir :

On me donne quatre entiers naturels non nuls .
Le but est de démontrer que si alors n'est pas premier.

Pour cela, j'introduis le pgcd de et .
Si alors il existe et premiers entre eux tels que .
Après je pensais transformer en puis avec .

Enfin, je pédale dans la semoule ...

[Doraki]

Tu peux paramétrer l'ensemble des (a,b,c,d) qui vérifient ab=cd.
Tu pars bien en posant g = pgcd(a,c), ça permet de commencer à décomposer a et c.

Normalement si tu pousses un peu ce que tu peux faire avec ton g, tu devrais pouvoir montrer que si ab=cd alors il existe 4 entiers non nuls x,y,z,t tels que
a=xy, b=zt, c=xz, d=zt. (et réciproquement si a,b,c,d sont de cette forme on vérifie immédiatement que ab=cd).

Une fois que t'as fait cette étape il reste à factoriser le "a²+b²+c²+d²" que tu obtiens et là c'est assez évident en fait.

[Dinozzo13]

Tu peux paramétrer l'ensemble des (a,b,c,d) qui vérifient ab=cd.
Tu pars bien en posant g = pgcd(a,c), ça permet de commencer à décomposer a et c.

Normalement si tu pousses un peu ce que tu peux faire avec ton g, tu devrais pouvoir montrer que si ab=cd alors il existe 4 entiers non nuls x,y,z,t tels que
a=xy, b=zt, c=xz, d=zt. (et réciproquement si a,b,c,d sont de cette forme on vérifie immédiatement que ab=cd).

Une fois que t'as fait cette étape il reste à factoriser le "a²+b²+c²+d²" que tu obtiens et là c'est assez évident en fait.

Paramètrer l'ensemble des (a,b,c,d) qui vérifient ab=cd ?
Je ne ne vois pas vraiment comment faire...

[Dinozzo13]

Paramètrer l'ensemble des (a,b,c,d) qui vérifient ab=cd ?
Je ne ne vois pas vraiment comment faire...

N'y aurait-il pas une astuce en calculant ?

[Doraki]

Je crois pas nan.

Quand je dis que tu pars bien avec ton pgcd, c'est que tu peux prendre x=g,
et il reste à montrer qu'il existe 3 entiers y,z,t tels que
a = gy, b = zt, c = gz, d = yt.
Et c'est facile parceque une fois qu'on a choisi x, il y a 1 seul choix possible pour y,z,t et il suffit juste de vérifier que c'est des entiers.