Somme et binôme de Newton

[TS2502]

Bonjour à tous, je suis de retour avec une autre question... J'espère que vous pourrez m'aider

Données : On pose n=3p+2
S0=(somme de k=0 à n de : 3k parmi n)
S1=(somme de k=0 à n de : 3k+1 parmi n)
S2=(somme de k=0 à n de : 3k+2 parmi n)
j est la racine cubique connue

On me demande d'abord de calculer (1+j)^n de deux manières différentes (une avec la somme des racines n-ième que j'ai réussi et l'autre avec le binôme de Newton où j'obtiens un résultat juste mais pas utile pour la suite d'après ma prof car je ne l'obtiens pas sous la a+bj+cj²...)
Mon résultat est : ((-j)²)^n
Je ne parviens pas à obtenir la forme que ma prof souhaite.

Par la suite on me demande de montrer que S0=S2=S1-(-1)^p
Cependant, ma prof m'a conseillé d'utiliser la forme du type a+bj+cj² que je n'ai pas. J'ai alors essayé d'utiliser une autre technique en faisant un changement de variable dans chacune des sommes (l=3k+...) et j'obtiens bien l'égalité souhaitée ; mais je ne suis pas sûre d'avoir le droit d'écrire ce changement car il me semble qu'il n'est pas bijectif d'après ce que ma prof nous avait dit (je n'ai pas très bien compris cette notion non plus...)

S'il vous ai possible de m'aider, je vous en serai très très très reconnaissante
Merci d'avance à vous

(J'ai essayé d'utiliser l'éditeur d'équation mais je ne parviens pas à insérer mes formules dans la zone de texte... Encore une fois désolée...)

[aviateur]

Franchement arrange toi pour que cela soit lisible facilement

[mathelot]

Bonjour à tous, je suis de retour avec une autre question... J'espère que vous pourrez m'aider

Données : On pose

j est une racine cubique

On me demande d'abord de calculer de deux manières différentes (une avec la somme des racines n-ième que j'ai réussi et l'autre avec le binôme de Newton où j'obtiens un résultat juste mais pas utile pour la suite d'après ma prof car je ne l'obtiens pas sous la a+bj+cj²...)
Mon résultat est :
Je ne parviens pas à obtenir la forme que ma prof souhaite.

Par la suite on me demande de montrer que
Cependant, ma prof m'a conseillé d'utiliser la forme du type a+bj+cj² que je n'ai pas. J'ai alors essayé d'utiliser une autre technique en faisant un changement de variable dans chacune des sommes (l=3k+...) et j'obtiens bien l'égalité souhaitée ; mais je ne suis pas sûre d'avoir le droit d'écrire ce changement car il me semble qu'il n'est pas bijectif d'après ce que ma prof nous avait dit (je n'ai pas très bien compris cette notion non plus...)

S'il vous ai possible de m'aider, je vous en serai très très très reconnaissante
Merci d'avance à vous

(J'ai essayé d'utiliser l'éditeur d'équation mais je ne parviens pas à insérer mes formules dans la zone de texte... Encore une fois désolée...)

[TS2502]

Encore désolée de la qualité de mes calculs, mais je ne parviens pas à insérer mes lignes dans mon texte, j'ai pourtant appuyé sur le bouton plusieurs fois mais cela ne marche pas.. J'espère ne pas être virée du site ; encore une fois désolée et merci à mathelot pour la mise au propre...

[aviateur]

Non ce n'est pas la qualité des calculs qui m'a gêné mais la difficulté à lire.
Je en sais pas comment mathelot à fait pour corriger.
Je regarde dc le pb puis je réponds ensuite

[aviateur]

Rebonjour
Bon c'est simple (ou presque):
avec le binôme de N:
Ensuite si alors
donc dans la somme précédente on regroupe les termes en .
Ce qui donne

D"autre part effectivement tu as trouvé mais on peut continuer:

finalement on a montré

je te laisse finir

[TS2502]

Rebonjour
Bon c'est simple (ou presque):
avec le binôme de N:
Ensuite si alors

Bonsoir, j'ai compris ce que vous faites après cette partie, mais je n'ai pas très bien compris cette dernière : le C représente-il le k parmi n ? Pourquoi posez-vous k=3q+r et que représente q ? Je ne comprends pas non plus comment vous obtenez juste j^r à la fin.. Si des fois vous pourriez me réexpliquer aviateur

[aviateur]

Oui j'utilise la notation qui représente binomial(n,k) "k parmi n" (c'est plus simple à écrire en latex)

On a où r est le reste de la division de k par 3.

[TS2502]

D'accord, mais pourquoi j^k = j^r , je ne comprends pas

[aviateur]

mais justement j'ai mis le détail dans le message précédent

[Pseuda]

Bonsoir,

Tu n'as peut-être pas tilté que j est une racine cubique de 1, ce qui fait j^3=1.

[TS2502]

Ah d'accord ! En effet, je n'avais pas tilté, merci beaucoup de votre aide à tous !

[aviateur]

merci pseuda, c'est vrai que vu le post initial, intuitivement pour moi j^3=1. Mais si on regarde bien l'énoncé ce n'est même pas dit!!

[TS2502]

Désolée de revenir sur le sujet encore une fois et j'espère ne pas abuser de votre aide mais je ne pense pas avoir compris certaines subtilités de vos calculs :
- je ne comprends pas pourquoi vous supposer "si k=3q+r alors..." même si je comprends ce que signifie q et r
- je ne comprends pas non plus comment on justifie la réimplantation de j^r dans la somme principale (issu de (1+j)^n) et comment on obtient S0, S1 et S2 dans cette somme

Je pense que ce sont surtout des questions de justification car je vois le calcul effectué mais je ne le comprends pas...
Merci encore une fois de votre gentillesse et de votre aide.
Bonne nuit à tous (au vu de l'heure) ^^

[Viko]

je vais un peu détaillé le calcul pour toi, si tu posesr avec (i.e. tu réalises la division euclidienne de k par 3) on a alors tu utilises alors le fait que et que et tu obtiens or j est une racine cubique de l'unité donc et donc d'où le résultat

[Pseuda]

Bonjour,

Question : Quel est l'intérêt / justification de poser k=3q+r ? Une explication complémentaire :

Dès lors qu'on sait / a remarqué que j^3=1, toutes les puissances de j qui composent le binôme de Newton (1+j)^n, se ramènent à 1, j ou j^2. En effet j^4=j, j^5=j^2, j^6=1, j^7=j, etc...

D'où l'intérêt de poser la division euclidienne k=3q+r. Cela => j^k=j^r (voir messages précédents) avec r = 0, 1 ou 2 (ce qui est quand même plus simple que l'écriture avec toutes les puissances de j et permet de répondre aux questions posées).

[TS2502]

J'avais compris le calcul Viko mais je ne comprenais pas pourquoi on le faisait ; merci Pseuda

[Ben314]

Oui j'utilise la notation qui représente binomial(n,k) "k parmi n" (c'est plus simple à écrire en latex)

bof...
{n \choose k}

[Viko]

tu viens de changer ma vie ben

[Pseuda]

J'avais compris le calcul Viko mais je ne comprenais pas pourquoi on le faisait ; merci Pseuda

Contente de t'avoir aidé. N'hésite pas à revenir si tu as d'autres questions.