Exercice : matrices, polynômes, binôme de Newton...

[Wenneguen]

Bonjour,

j'ai un peu de mal à comprendre la correction de l'exercice 9 ( http://www.editions-ellipses.fr/PDF/9782729875268_extrait.pdf début de la 8ème page )

Je comprends la 1ère phrase mais la 2ème me pose problème, quelqu'un pourrait-il me détailler le lien entre les 2 couples de variables p , k et i , j ?

Merci beaucoup

[Skullkid]

Bonsoir, il y a quelques fautes dans la correction. Le coefficient (i,j) (i-ème ligne, j-ième colonne) de la matrice de Phi dans la base canonique est par définition le coefficient devant X^i dans la décomposition de Phi(X^j) dans la base canonique. Or , d'où la réponse, qui n'est pas celle écrite dans la correction : le coefficient (i,j) est nul dès que i >= j, et vaut sinon.

[Wenneguen]

Bonsoir, il y a quelques fautes dans la correction. Le coefficient (i,j) (i-ème ligne, j-ième colonne) de la matrice de Phi dans la base canonique est par définition le coefficient devant X^i dans la décomposition de Phi(X^j) dans la base canonique. Or , d'où la réponse, qui n'est pas celle écrite dans la correction : le coefficient (i,j) est nul dès que i >= j, et vaut sinon.

Merci pour ta réponse ! Comment fais-tu pour " faire rentrer " le X^j dans la somme ?

Sinon, j'avais calculé les premières colonnes de la matrice et il semblerait que mes calculs ne soient pas en accord avec ta réponse : par exemple pour le coefficient de la matrice à la 3ème ligne, 5ème colonne, je calcule x^4-(x-1)^4 = 4*x^3-6*x^2+4*x-1 ce qui signifie que le coefficient est -6 non ? Alors qu'avec ta solution je trouve -10.

[Skullkid]

Dans la somme pour i de 0 à j, le terme i = j vaut -X^j donc après ajout de X^j il ne reste que la somme pour i de 0 à j-1. Sinon, j'aurais dû préciser qu'avec les notations que j'ai utilisées, les lignes et les colonnes de la matrice sont numérotées de 0 à n et non pas de 1 à n+1, pour être cohérent avec les exposants de X dans la base canonique de Rn[X]. Si tu veux numéroter les lignes et les colonnes à partir de 1, il suffit de remplacer i par i-1 et j par j-1 dans l'expression du coefficient (puisqu'alors le k-ième vecteur de la base canonique est X^(k-1)).

[Wenneguen]

Merci mais il me reste une dernière petite question ^^ : d'où vient le +1 en exposant ?

[Skullkid]

C'est le signe - devant (X-1)^j que j'ai fait rentrer dans la somme. Refais les calculs de ton côté sur un papier, tu ne devrais pas avoir de problèmes.