Matrice - binome de newton
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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ludwig
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par ludwig » 06 Jan 2007, 21:17
Bonjour, voici l'énoncé de mon exo:
Soit la matrice A --> 1ère ligne: 1 a b ; 2ème ligne 0 1 a et 3ème ligne 0 0 1
et soit la matrice B --> 1ère ligne 0 1 1 ; 2ème ligne: 0 0 1 et 3ème ligne 0 0 0
1) exprimer A en fonction des matrices I3, B et B²
2) Calculer B^3 puis B^n pour tout entier n > (ou égal) 3
3 En réécrivant la décomposition de la question 1 sous la forme A = M + N où M et N sont deux matrices bien choisies, calculer A^n pour tout entier N > (ou égal) 1
Voilà, pour la 1ère et 2 ème question ça va à peu près mais c'est la troisième que je ne saisis pas, le prof utilise la méthode du binome de newton mais le corrigé est imcompréhensible. Si qqn peut m'aider...
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jose_latino
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par jose_latino » 06 Jan 2007, 21:39
Donne-nous la décomposition de la question 1 pour t'aider. Et la réponse 2 aussi.
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jose_latino
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par jose_latino » 06 Jan 2007, 21:44
Si tu mets \left(\matrix{a1&b1&c1\\a2&b2&c2\\a3&b3&c3\\ }\right) entre
et
ça te donne le suivant:
:id:
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ludwig
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par ludwig » 06 Jan 2007, 21:56
on a pour B²= première ligne 0 0 1 puis 0 aux restes et B^3=0 donc pour la 2) si n > 3; B^n=B^(n-3)*B^3 or B^3=0 alors B^n = 0
C'est ce que j'ai compris
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jose_latino
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par jose_latino » 06 Jan 2007, 22:45
Tu ne nous as pas donné la prémière réponse, mais c'est difficile remarquer que c'est:
(*)
ludwig a écrit:3 En réécrivant la décomposition de la question 1 sous la forme A = M + N où M et N sont deux matrices bien choisies, calculer A^n pour tout entier N > (ou égal) 1
Pour utiliser le binôme de Newton les matrices doivent commuter, mais c'est pas difficile de remarquer que tous
commutent, donc d'après (*), on peut choisir la matrice qui devient 0 plus rapidement comme
, dans ce cas
, donc
, applique la formule de Newton maintenant, n'oublie pas que, comme tu as bien dit,
,
donc
,
(justifier: Démontre que
)
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ludwig
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par ludwig » 06 Jan 2007, 23:17
Ok !! je te remercie vraiment pour ta réponse jose latino.
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